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1、关于规范壕理渝段一士葛墨林,“”祖典本文从规范协变微商的普遍形式出发得到了任意场函数访平行位移,算符的积积分表达式并以此为基础结合李群的结构对规范场理论进行了较严格的讨。。论它可能对进一步发展规范不变性理论提供某些线索分,,本文的目的主要是从经典场论的角度对规范场的理论结构进行一般性的讨论而不作特。,“”殊的限制首先从规范协变微商的普遍形式出发建立了任意场函数冲的规范平行位移概,“”,、“”念导出了中场平行位移算符的严格数学表达式并阐明了规范变换平行位移变换。“”,和规范协变微商三者的内在联系文
2、中指出中场的平行位移算符可以有两种等价的表达式,。’了’一种是指数积分的形式另一种是积积分的形式前者恰好与杨振宁关于规范场的报告中,,用积分方法定义的李群元素在形式上是相似的但在一般非阿贝尔群的情况指数积分前面必。“”须有一个时序乘积算符才能保证理论的自恰此外文中利用平行位移算符的积积分表达式,,,导出了由联络矩阵函数所构成的伴随协变张量此张量的存在是中场函数沿封闭曲线。,平移后差值不为零的结果这一情况与黎曼几何中建立曲率张量的过程是类似的这是由于广飞’。义相对论是规范场普遍理论的一个特例,最后
3、本文对联络矩阵武与规范变换群的结构之间的关系进行了讨论得到了联络矩阵,,以必须满足的群的结构方程证明了通常传统的规范不变理论中的联络矩阵的具体形式及由。,它所定义的规范场是这个方程的一种解由于这个方程还可能存在更普遍或更复杂形式的解。因此本文的理论对进一步推广规范场的理论可以提供一定的线索一、规范变换和平行位移算符分,。,设是一个以为参数的阶李群是的一个不可约线性表示其变换对象为某一,,,场函数今如果是局域性的也即是四维时空坐标的函数则下列变换’,冲种其中。称为场函数中对应于李群的规范变换二,。
4、,、二,、二刁曰,,,、。。二,、,,令,、‘,,‘丫二二,「口〕。、盖沐已声阅联口匕,甲、人入“、,幼刀巳几气切行一』艺六二尧六弓七了匕李屯洲哈气刁、尹于,多匕,侧二二二二分口盖户但我们可以找到通常所谓的规范协变微商一本丈年月日收王兰州大学学报年月,分冲一、吟林砷是函数矩阵。它对于规范变换具有协变性质’,‘,。少中’‘。夕一其中分”,,容易证明如果式成立则必须服从下列的变换规律臼‘。一拜一’。六呜己卜”刁,,在李群的理论中如果函数矩阵是群的李代数空间的矢量则具有’一,。。,,形式的变换称为对应
5、于群的伴随变换伴随变换本身构成一个群它与自同构称为的,。伴随群而形式的变换则称之为非齐次伴随变换非齐次伴随变换与伴随变换的差别在习。一于前者多了一个非齐次项此项反映了规范变换的局域性“分’艺’,。一般认为由伞场存在协变微商的要求所必须引入的函数矩阵相当于存在一种与,场。。有一定相互作用形式的规范场关于这方面的细节和理论上的扩展将在以后详加讨论。一式所决定的协变微商的几何意义下面我们着重研究按照现代微分几何的观’’,“”,“”点对应于某种变换的协变微商往往联系着一种平行位移的概念而这种平行位移。“
6、”,是通过某种联络来实现的为了了解对应于规范变换的协变微商所联系的平行位移概念。“,将幻式两端乘以由此可得“一乙。中冲中〕办肠。其中访踌刁各中,”。二中””“,式中令的意义是点场函数中与其邻近点的场函数冲之差。、’’‘”它是今的全微分而乙中的意义可以理解为场函数中从点作无限小的平行位移至点。,,,后中的变化这种平行位移的方式是由函数矩阵所规定的与现代微分几何的名词相应。我们称人试为联络矩阵,。容易看出中和各币对规范变换都不是协变的量这是因为由和可以证明,一·‘,。‘,“,“‘,鲁,一·‘、‘、,
7、“、,‘、瞥。这里是指通常场论中的第二夹悦范变换第期关于规范场理论己,但可以看出心与中之差对规范变换恰好构成协变量即’一各心‘一各中中〔小。,这一情况与黎曼几何中有关平行位移的概念是完全类似的不过我们必须注意不同点的冲之“”,“”间的平行的概念仅应从冲本身所对应的抽象空间中去理解这种平行的概念在一般情,。况与四维时空的坐标轴的取向是不一定有联系的“”,为了进一步研究这种广义平行位移的性质我们假定场函数冲由曲线’‘“户是曲线的参数,‘,’“”上点沿曲线平行位移至点场函数由中变为中下脚标表示这两个不
8、同,令点的场函数按照式的规定它们是互相平行的并假定这种平行位移的结果可以通过一’,,个平行位移算符的运算实现即’‘。中中容易证明这种算符在曲线上具有如下的传递性尸,口,’’,,。并且‘,一’,’‘,“显然以算符为元素的集合构成一个群我们称这个群为对应于规范变换的平行”。位移群,由和可以证明与联络矩阵之间存在如下的关系,户。二,。,。,,将上式两端乘以假定和都在曲线上并利用则,。,。拜解,。,。由此我们得到决定平行位移算符的方程,。。二,。,。,。其中,。,方程可有两种形式的解一种是指数形式的二,
