2.1.3函数的简单性质

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梅州市曾宪梓中学高一数学备课组李学贤2.1.3函数的简单性质单调性（第一课时）三维目标1．知识与技能（1）理解函数单调性概念，学会运用函数图像理解和研究函数性质；（2）能熟练应用定义判断或证明在相应区间的单调性，并在此基础上应用单调性解决涉及函数的有关问题。2．过程与方法体验单调性概念的形成过程，并学会数形结合辩证思维的能力，和运用数学概念进行判断推理的能力，养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，领会数形结合分类讨论的数学思想。3．情感、态度与价值观培养学生和同伴交流合作的能力以及在学习中不断反思形成勤于思考善于思考的能力。重点难点1．教学重点：函数的单调性及其几何意义2．教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．教学过程一、复习引入：⒈复习：我们在初中已经学习了函数图象的画法.为了研究函数的性质，我们按照列表、描点、连线等步骤先分别画函数和的图象.的图象如图1，的图象如图2.⒉引入：从函数的图象（图1）看到：图象在轴的右侧部分是上升的，也就是说，当在区间[0，+)上取值时，随着的增大,相应的值也随着增大，即如果取∈[0，+)，得到=,=,那么当<时，有<.这时我们就说函数==在[0,+)上是增函数.第16页共16页 梅州市曾宪梓中学高一数学备课组李学贤图象在轴的左侧部分是下降的，也就是说，当在区间（-，0）上取值时，随着的增大，相应的值反而随着减小，即如果取∈（-，0），得到=,=,那么当<时，有>.这时我们就说函数==在(-,0)上是减函数.函数的这两个性质，就是今天我们要学习讨论的.二、讲解新课：⒈增函数与减函数定义：对于函数的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值，⑴若当<时，都有<,则说在这个区间上是增函数（如图3）；⑵若当<时，都有>,则说在这个区间上是减函数（如图4）.说明：函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数（图1），当∈[0,+)时是增函数，当∈(-,0)时是减函数.⒉单调性与单调区间若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.说明：⑴函数的单调区间是其定义域的子集；⑵应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数），例如，图5中，在那样的特定位置上，虽然使得>，但显然此图象表示的函数不是一个单调函数；第16页共16页 梅州市曾宪梓中学高一数学备课组李学贤⑷定义的内涵与外延：内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况；外延①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减.②几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数.三、讲解例题：例1、如图6是定义在闭区间[-5，5]上的函数的图象，根据图象说出的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数.解：函数的单调区间有[-5，-2)，[-2，1)，[1，3)，[3，5]，其中在区间[-5，-2)，[1，3)上是减函数，在区间[-2，1)，[3，5]上是增函数.说明：函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题；另外，中学阶段研究的主要是连续函数或分段连续函数，对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调，因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以；还要注意，对于在某些点上不连续的函数，单调区间不包括不连续点.例2、证明函数在R上是增函数.证明：设是R上的任意两个实数，且<，则－=(3+2)-(3+2)=3(－),由0,又由<，得－>0,于是－>0，即>，∴在(0,+)上是减函数.例4．讨论函数在(-2,2)内的单调性.解：∵，对称轴∴若,则在(-2,2)内是增函数；若则在(-2,a)内是减函数,在[a,2]内是增函数若,则在(-2,2)内是减函数.四、练习：1、判断函数在R上是增函数还是减函数？并证明你的结论.2、判断函数=在(-,0)上的单调性并证明你的结论。说明：通过观察图象，对函数是否具有某种性质，作出猜想，然后通过推理的办法，证明这种猜想的正确性，是发现和解决问题的一种常用数学方法.3、判断函数在R上的单调性，并说明理由.五、小结⒈讨论函数的单调性必须在定义域内进行,即函数的单调区间是其定义域的子集,因此讨论函数的单调性,必须先确定函数的定义域;⒉根据定义证明函数单调性的一般步骤是：⑴设,是给定区间内的任意两个值，且<；⑵作差－，并将此差式变形（要注意变形的程度）；⑶判断－的正负（要注意说理的充分性）；⑷根据－的符号确定其增减性.六、课后作业：第16页共16页 梅州市曾宪梓中学高一数学备课组李学贤单调性（第一课时）三维目标1．知识与技能（1）巩固函数单调性概念，熟练掌握证明函数单调性的方法和步骤，初步了解复合函数单调性的判断方法。（2）会求复合函数的单调区间.明确复合函数单调区间是定义域的子集。2．过程与方法掌握函数单调性证明过程，并学会数形结合辩证思维的能力，和运用数学概念进行判断推理的能力，养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，领会数形结合分类讨论的数学思想。3．情感、态度与价值观培养学生和同伴交流合作的能力以及在学习中不断反思形成勤于思考善于思考的能力。重点难点1．教学重点：熟练证明函数单调性的方法和步骤。2．教学难点：单调性的综合运用。教学过程一、复习引入：1.对于函数的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值⑴若当<时，都有<,则说在这个区间上是增函数；⑵若当<时，都有>,则说在这个区间上是减函数.2.若函数在某个区间是增函数或减函数，则就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.3.判断证明函数单调性的一般步骤是：⑴设,是给定区间内的任意两个值，且<；⑵作差－，并将此差式变形（要注意变形的程度）；⑶判断－的正负（要注意说理的充分性）；⑷根据－的符号确定其增减性.二、讲解新课：1．函数单调性的证明第16页共16页 梅州市曾宪梓中学高一数学备课组李学贤例1．判断并证明函数的单调性证明：设则∵∴，,∴即（注：关键的判断）∴在R上是增函数.2．复合函数单调性的判断对于函数和，如果在区间上是具有单调性，当时，，且在区间上也具有单调性，则复合函数在区间具有单调性的规律见下表：增↗减↘增↗减↘增↗减↘增↗减↘减↘增↗以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.证明：①设，且∵在上是增函数，∴，且∵在上是增函数，∴.所以复合函数在区间上是增函数②设，且，∵在上是增函数，∴，且∵在上是减函数，∴.所以复合函数在区间上是减函数第16页共16页 梅州市曾宪梓中学高一数学备课组李学贤③设，且，∵在上是减函数，∴，且∵在上是增函数，∴.所以复合函数在区间上是减函数④设，且，∵在上是减函数，∴，且∵在上是减函数，∴.所以复合函数在区间上是增函数例2．求函数的值域，并写出其单调区间解：题设函数由和复合而成的复合函数，函数的值域是，在上的值域是.故函数的值域是.对于函数的单调性，不难知二次函数在区间上是减函数，在区间上是增函数；二次函数区间上是减函数，在区间上是增函数当时，，即，或.当时，，即，.第16页共16页 梅州市曾宪梓中学高一数学备课组李学贤因此，本题应在四个区间，，，上考虑①当时，，而在上是增函数，在上是增函数，所以，函数在区间上是增函数②当时，，而在上是增函数，在上是减函数，所以，函数在区间上是减函数③当时，，而在上是减函数，在上是减函数，所以，函数在区间上是增函数④当时，，而在上是增函数，在上是减函数，所以，函数在区间上是减函数综上所述，函数在区间、上是增函数；在区间、上是减函数另外，本题给出的复合函数是偶函数，在讨论具有奇偶性的函数的单调性时，应注意应用其奇函数或偶函数的性质，以使解题过程简捷、清楚、具有条理性三、课堂练习（略）四、小结本节课学习了以下内容：函数单调性的证明方法五、课后作业：（略）六、课后记：函数的单调性是第一个接触的函数的性质，虽然从图像上来看的话，大部分学生能够判断出怎样的图像就是单调增、怎样的图像就是单调减的，但是由于学生对数学符号语言的不适应，很多作业中会判断错误。第16页共16页 梅州市曾宪梓中学高一数学备课组李学贤函数的最值三维目标1．知识与技能了解函数的最大值与最小值概念，理解函数的最大值和最小值的几何意义，能求一些常见函数的最值和值域。2．过程与方法体验函数最值在图像上的反映，并学会由特殊到一般归纳推理、论证的思维方法，体会这种由形及数、数形结合的数学思想。3．情感、态度与价值观通过绘制和展示优美的函数图像可以陶冶我们的情操，通过概念的形成过程可以增强我们主动的交流的合作精神，并体会到事物的特殊性和一般性的关系，培养我们的探究、推理的思维能力。重点难点1．教学重点：函数最值的判断2．教学难点：函数最值的判断教学过程一、复习准备：1.指出函数的单调区间及单调性，并进行证明。2.的最小值的情况是怎样的？3.知识回顾：增函数、减函数的定义。二．学生活动问题1：观察下列函数的图象，并指出对于任意，与的大小关系．观察得到：图（1）中，对于任意，都有；图（2）中，对于任意，都有第16页共16页 梅州市曾宪梓中学高一数学备课组李学贤．三．建构数学问题2：如何用数学语言来准确地表达函数的最大值和最小值呢？通过讨论，给出的最大值和最小值的定义．函数最值的定义：一般地，设函数的定义域为．若存在定值，使得对于任意，有恒成立，则称为的最大值，记为；若存在定值，使得对于任意，有恒成立，则称为的最小值，记为；问题3：设函数的定义域为，若是增函数，则，；若是减函数，则，．问题4：判断下列说法是否正确：（1）单调函数一定有最大值和最小值；（2）在定义域内不具有单调性的函数一定没有最大值和最小值．四．数学运用1．例题例1．（教材P．36．例3）如图为函数，的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间．第16页共16页 梅州市曾宪梓中学高一数学备课组李学贤说明：求函数的单调区间时，如果函数既有单调增区间，又有单调减区间，必须分别写出．例2．（教材P．36例4．）求下列函数的最小值：（1）；（2），．变题1：将例2的要求改为“求下列函数的值域”；变题2：求下列函数的值域：（1），；（2），．变题3：求，的最小值．解：，其图象是开口向上，对称轴为的抛物线．①若，则在上是增函数，∴；②若，则；③若，则在上是减函数，∴的最小值不存在．例3．（教材P．36例5．）已知函数的定义域是，．当时，是增函数；当时，是减函数．试证明在时取得最大值．2．练习：课后练习第3、4题．五．回顾小结本节课主要学习了函数的最大值和最小值的概念．求函数的最大值和最小值，要充分发挥函数的单调性和函数图象的作用．六、课外作业：补充：1．已知函数的定义域是，．（1）求的值域；（2）求的值域中整数的个数．2．已知二次函数在上有最大值4，求实数的值．第16页共16页 梅州市曾宪梓中学高一数学备课组李学贤奇偶性三维目标1．知识与技能理解奇函数、偶函数的概念，并学会运用定义判断函数的奇偶性，并初步体会函数奇偶性的简单应用，如运用奇偶性，求解析式、作图像等。2．过程与方法从函数图像的角度我们将体验奇函数、偶函数概念的形成过程，并学会由特殊到一般归纳推理、论证的思维方法，体会这种由形及数、数形结合的数学思想。3．情感、态度与价值观通过绘制和展示优美的函数图像可以陶冶我们的情操，通过概念的形成过程可以增强我们主动的交流的合作精神，并体会到事物的特殊性和一般性的关系，培养我们的探究、推理的思维能力。重点难点1．教学重点：函数奇偶性的判断和证明2．教学难点：函数奇偶性的判断和证明．教学过程一．问题情境1．情境：课本上的图，生活中的对称现象．2．问题：在你学过的函数中，有没有具有对称性的函数图象，举例说明．二．学生活动问题1：观察下列函数的图象，从对称的角度你发现了什么？观察得到：函数的图象关于轴对称，函数的图象关于原点对称．第16页共16页 梅州市曾宪梓中学高一数学备课组李学贤问题2：点关于轴的对称点是，点关于原点的对称点是．三．建构数学问题3：如果函数的图象关于轴对称，把此图象沿轴对折，那么图象上的点与图象上的哪一个点重合？由此可得什么结论？观察、讨论得到：与图象上的点重合，可见点与点关于轴对称．由于点关于轴的对称点为，由此可得．显然，此结论对的图象上的任意一点都成立．我们把具有这种特点的函数称为偶函数．偶函数的定义：如果对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么称函数是偶函数．类似给出奇函数的定义：如果对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么称函数是奇函数．说明：1．如果函数是奇函数或偶函数，我们就说函数具有奇偶性；根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函数也不是偶函数；2．注意：“任意”、“都有”等关键词，奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立；3．奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称；4．奇、偶函数的定义域关于“0”对称．如果一个函数的定义域不关于“0”对称，则该函数既不是奇函数也不是偶函数；5．，；四．数学运用1．例题第16页共16页 梅州市曾宪梓中学高一数学备课组李学贤例1．（教材P．41例6、例7．）判断下列函数是否是奇函数或偶函数：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．归纳：判断函数是否是奇函数或偶函数的基本步骤：（1）考察函数的定义域是否关于“0”对称；（2）计算的解析式，并考察其与的解析式的关系；（3）下结论．说明：在定义域关于“0”对称的前提下，要说明一个函数既不是奇函数也不是偶函数，应该通过计算具体的函数值来说明．2．练习：课后练习第1、2、4、5、6题．例2．已知函数是定义域为的奇函数，求的值．解：∵是定义域为的奇函数，∴对任意实数都成立，把代入得，∴．说明：如果奇函数的定义域中有0，则必有；如果奇函数的定义域中有0，则它的图象一定经过原点．例3．已知函数是偶函数，求实数的值．解：∵是偶函数，∴恒成立，即恒成立，∴恒成立，∴，即．五．回顾小结本节课主要学习了函数奇偶性的概念，判断和证明函数奇偶性的的方法．要掌握判断函数奇偶性的基本步骤和奇函数、偶函数的图象特征，并能利用函数的奇偶性解决一些简单的问题．六、课外作业：（略）第16页共16页 梅州市曾宪梓中学高一数学备课组李学贤函数的基本性质（练习）三维目标1．知识与技能进一步领会函数单调性和奇偶性的定义，并在此基础上，熟练应用定义判断和证明函数的单调性及奇偶性，初步学习单调性和奇偶性结合起来解决函数的有关问题。2．过程与方法通过本节课的学习，我们将体会到单调性和奇偶性在解决函数有关问题中的重要作用，提高应用知识解决问题的能力，体会转化的思想和分类讨论思想及数形结合思想的应用。3．情感、态度与价值观增强学生的逻辑思维能力和应用知识分析问题、解决问题的能力。重点难点1．教学重点：掌握函数的基本性质。2．教学难点：应用性质解决问题。教学过程一、复习准备：1.讨论：如何从图象特征上得到增函数、减函数、最大值、最小值、奇函数、偶函数？2.提问：如何从解析式得到增函数、减函数、最大值、最小值、奇函数、偶函数的定义？二、教学典型习例：1.函数性质综合题型：①出示例1：作出函数的图像，指出单调区间和单调性。分析作法：利用偶函数性质，先作y轴右边的，再对称作。→学生作→口答→思考：y＝的图像的图像如何作？②讨论推广：如何由的图象，得到、的图象？③出示例2：已知是奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，证明：在(－∞，0)上也是增函数分析证法→教师板演→变式训练④讨论推广：奇函数或偶函数的单调区间及单调性有何关系？（偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致）2.教学函数性质的应用：①示例：求函数f(x)＝x＋(x>0)的值域。分析：单调性怎样？值域呢？→小结：应用单调性求值域。→探究：计算机作图与结论推广第16页共16页 梅州市曾宪梓中学高一数学备课组李学贤②示例：某产品单价是120元，可销售80万件。市场调查后发现规律为降价x元后可多销售2x万件，写出销售金额y(万元)与x的函数关系式，并求当降价多少个元时，销售金额最大？最大是多少？分析：此题的数量关系是怎样的？函数呢？如何求函数的最大值？小结：利用函数的单调性（主要是二次函数）解决有关最大值和最大值问题。2.基本练习题：①判别下列函数的奇偶性：y＝＋、y＝（变式训练：f(x)偶函数，当x>0时，f(x)=….，则x<0时，f(x)=?）②求函数y＝x＋的值域。③判断函数y=单调区间并证明。（定义法、图象法；推广：的单调性）④讨论y=在[-1,1]上的单调性。（思路：先计算差，再讨论符号情况。）三、巩固练习：1.求函数y=为奇函数的时，a、b、c所满足的条件。（c=0）2.已知函数为偶函数，其定义域为，求函数值域。3.是定义在(-1,1)上的减函数，如何。求的范围。4.求二次函数在上的最大值与最小值。5.课堂作业（略）第16页共16页