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1、梅州市曾宪梓中学高一数学备课组李学贤2.1.3函数的简单性质单调性（第一课时）三维目标1．知识与技能（1）理解函数单调性概念，学会运用函数图像理解和研究函数性质；（2）能熟练应用定义判断或证明在相应区间的单调性，并在此基础上应用单调性解决涉及函数的有关问题。2．过程与方法体验单调性概念的形成过程，并学会数形结合辩证思维的能力，和运用数学概念进行判断推理的能力，养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，领会数形结合分类讨论的数学思想。3．情感、态度与价值观培养学生和同伴交流合作的能力以及在学习中不断反思形成勤于思考善于思考的能力。重点难
2、点1．教学重点：函数的单调性及其几何意义2．教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．教学过程一、复习引入：⒈复习：我们在初中已经学习了函数图象的画法.为了研究函数的性质，我们按照列表、描点、连线等步骤先分别画函数和的图象.的图象如图1，的图象如图2.⒉引入：从函数的图象（图1）看到：图象在轴的右侧部分是上升的，也就是说，当在区间[0，+)上取值时，随着的增大,相应的值也随着增大，即如果取∈[0，+)，得到=,=,那么当<时，有<.这时我们就说函数==在[0,+)上是增函数.第16页共16页梅州市曾宪梓中学高一数学备课组李学贤图
3、象在轴的左侧部分是下降的，也就是说，当在区间（-，0）上取值时，随着的增大，相应的值反而随着减小，即如果取∈（-，0），得到=,=,那么当<时，有>.这时我们就说函数==在(-,0)上是减函数.函数的这两个性质，就是今天我们要学习讨论的.二、讲解新课：⒈增函数与减函数定义：对于函数的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值，⑴若当<时，都有<,则说在这个区间上是增函数（如图3）；⑵若当<时，都有>,则说在这个区间上是减函数（如图4）.说明：函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是
4、增函数.例如函数（图1），当∈[0,+)时是增函数，当∈(-,0)时是减函数.⒉单调性与单调区间若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.说明：⑴函数的单调区间是其定义域的子集；⑵应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数），例如，图5中，在那样的特定位置上，虽然使得>，但显然此图象表示的函数不是一个单调函数；第16页共16页梅州市
5、曾宪梓中学高一数学备课组李学贤⑷定义的内涵与外延：内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况；外延①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减.②几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数.三、讲解例题：例1、如图6是定义在闭区间[-5，5]上的函数的图象，根据图象说出的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数.解：函数的单调区间有[-5，-2)，[-2，1)，[1，3)，[3，5]，其中在区间[-5，-2)，[1，3)上是减函数
6、，在区间[-2，1)，[3，5]上是增函数.说明：函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题；另外，中学阶段研究的主要是连续函数或分段连续函数，对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调，因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以；还要注意，对于在某些点上不连续的函数，单调区间不包括不连续点.例2、证明函数在R上是增函数.证明：设是R上的任意两个实数，且<，则－=(3+2)-(3+2)=3(－),由7、在R上是增函数.例3证明函数在(0,+)上是减函数.证明：设,是(0,+)上的任意两个实数，且<，则－=－=,第16页共16页梅州市曾宪梓中学高一数学备课组李学贤由,∈(0,+)，得>0,又由<，得－>0,于是－>0，即>，∴在(0,+)上是减函数.例4．讨论函数在(-2,2)内的单调性.解：∵，对称轴∴若,则在(-2,2)内是增函数；若则在(-2,a)内是减函数,在[a,2]内是增函数若,则在(-2,2)内是减函数.四、练习：1、判断函数在R上是增函数还是减函数？并证明你的结论.2、判断函数=在(-,0)上的单调性并证明你的结论。说明：通
8、过观察图象，对函数是否具有某种性质，作出猜想，然后通过推理的办法，证明这种猜想的正确性，是发现和解决问题的一种常用数学方法.3、判断函数在R上的单调性，并说明理由.五、小结⒈讨论
