《3.1任意角和弧度制及任意角的三角函数》 教案

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1、任意角和弧度制及任意角的三角函数适用学科数学适用年级高三适用区域新课标课时时长（分钟）60知识点任意角的概念；象限角的概念及表示；同终边角的概念及表示弧度的概念；角度与弧度的互化；扇形的弧长和面积公式任意角的三角函数的定义；任意角的三角函数的的求法三角函数值在各个象限的符号；诱导公式一（同终边角）；有向线段与三角函数线教学目标1.了解任意角的概念．2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化．3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．教学重点三角函数的定义及应用，三角函数值符号的确定教学难点三角函数的定义及应用教学过程一、课堂导入在花样滑冰比赛中，

2、运动员的动作是那么优美！尤其是原地转身和空中翻转动作都让我们叹为观止．运动员在原地转身的动作中，仅仅几秒内就能旋转十几圈，甚至二十几圈，因此，花样滑冰美丽而危险．我们利用以前学的角的范围是0°≤α≤180°，你还能算出他们在一次原地转身三圈的动作中转过的角度吗？二、复习预习1．初中我们已经学习过角，那么初中对角的定义是什么呢？所谓角就是________________．2．角按大小进行分类，可分为锐角、钝角和直角．锐角的范围为________，钝角的范围为________，直角的度数为________．三、知识讲解考点1角的有关概念角的特点角的分类从运动的

3、角度看角可分为正角、负角和零角从终边位置来看可分为象限角和轴线角α与β角的终边相同β＝α＋k·360°(k∈Z)(或β＝α＋k·2π，k∈Z)考点2弧度的概念与公式在半径为r的圆中分类定义(公式)1弧度的角把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示角α的弧度数公式

4、α

5、＝(弧长用l表示)角度与弧度的换算①1°＝rad　②1rad＝°弧长公式弧长l＝

6、α

7、r扇形的面积公式S＝lr＝

8、α

9、·r2考点3任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫做α的正弦，记作sinαx叫做α的余弦

10、，记作cosα叫做α的正切，记作tanα　各象限符号Ⅰ正正正Ⅱ正负负Ⅲ负负正Ⅳ负正负口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线四、例题精析【例题1】【题干】　(1)已知角α＝2kπ－(k∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y＝＋＋的值为(　　)A．1　　　　　　　　　B．－1C．3D．－3(2)已知点P(tanα，cosα)在第三象限，则角α的终边在(　　)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】(1)选B　由α＝2kπ－(k∈Z)及终边相同角的概念知，α的终边在第四象限，又θ与α

11、的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sinθ＜0，cosθ＞0，tanθ＜0.因此，y＝－1＋1－1＝－1.(2)选B　∵点P(tanα，cosα)在第三象限，∴∴α是第二象限角.【例题2】【题干】已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．【解析】∵角α的终边在直线3x＋4y＝0上，∴在角α的终边上任取一点P(4t，－3t)(t≠0)，则x＝4t，y＝－3t，r＝＝＝5

12、t

13、.当t＞0时，即x>0时，r＝5t，sinα＝＝＝－，cosα＝＝＝，tanα＝＝＝－；当t＜0时，即x<0时，r＝－5t，sinα＝＝＝，cosα＝

14、＝＝－，tanα＝＝＝－.综上可知，当角α的终边在直线3x＋4y＝0的x>0部分时，sinα＝－，cosα＝，tanα＝－；当角α的终边在直线3x＋4y＝0的x<0部分时，sinα＝，cosα＝－，tanα＝－.【例题3】【题干】已知在半径为10的圆O中，弦AB的长为10，(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形弧长l及弧所在的弓形的面积S.【解析】(1)如图所示，过O作OC⊥AB于点C，则AC＝5，在Rt△ACO中，sin∠AOC＝＝＝，∴∠AOC＝30°，∴α＝2∠AOC＝60°.(2)∵60°＝，∴l＝

15、α

16、r＝.S扇＝lr＝××10

17、＝.又S△AOB＝×10×10sin＝25，∴S弓形＝S扇－S△AOB＝－25＝50.【例题4】【题干】如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，的坐标为________．【答案】(2－sin2,1－cos2)【解析】因为圆心移动的距离为2，所以劣弧＝2，即∠PCA＝2，则∠PCB＝2－，所以PB＝sin＝－cos2，CB＝cos＝sin2，所以xP＝2－CB＝2－sin2，yP＝1＋PB＝1－cos2，所以＝(2－sin2，1－cos2)．

18、五、课堂运用【基础】1．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α