2019-2020年高三数学 数列综合问题教案同步教案 新人教A版

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1、2019-2020年高三数学数列综合问题教案同步教案新人教A版一、教学进度高考总复习之八------数列综合问题数列的求和问题，数列的综合问题。二、学习指导无论是给了递推公式，还是给了前n项的和与通项之间的关系式。都不能直接知晓它与我们所熟悉的等差数列或等比数列的哪一种有关，以及是怎样一种关系。这就需要我们仔细观察题设条件及结论的特点，适当进行变化，间接地与等差，等比数列挂上钩，这之中不乏探索的过程，也就是说，这种变化并无明确的法则，只能是依据经验和题目特点进行尝试，这也就是难点之所在。三、典型例题讲评例

2、1．已知数列｛an｝的前n项和为Sn，且满足对一切正整数n，有Sn=(an－1)，在数列｛bn｝中，bn=4n+3。（1）求数列｛an｝的通项公式（2）把两个数列的公共项按它们的原先的顺序排成新数列｛Cn｝，求它的通项公式。用Sn－Sn—1即可求出an，但此式成立的前提是n≥2，在此外得到an=3an—1后不能立即得出｛an｝成等比的结论，一定要先验证a1≠0，切记！在第（2）小题中，如何求出“公共项”是关键，首先应注意，“公共项”是指在｛an｝和｛bn｝中都出现了的项，但相应项数未必一样，不能出现“令a

3、n=bn”这样的式子，而只能令an=bm，得出n与m间关系，在本题中，我们不难求出an=3n，令3n=4m+3，n与m的关系怎样求？如写为n=log3(4m+3)或m=，前者来的必是整数，后者亦来必是整娄，只有当n为奇数（记n=2k－1）时才是整数，（可用二项式定理说明）了即便这样因b1=7，故｛a2｝中奇数项并不能从1开始，而只能从3开始，这都是解题时必须加以注意的。例2．已知在△ABC中，三边长的平方a2、b2、c2成等差数列。（1）求证：cotA、cotB、cotC成等差数列；（2）求证：、、成等差

4、数列。在第（1）小题中，cotA、cotB、cotC成等差如何用a2、b2、c2成等差挂上钩？极易盲目转换，误入歧途，已知为边际关系，欲证为角际关系，应往边上靠，但余切公式甚少，化为弦：要证cotA、cotB、cotC成等差，即证、、成等差，由正、余弦定理知，即证、、成等差，由已知立得。在第（2）小题中，已知，求证均为边际关系，就需把所求式值a2、b2、c2上靠拢；要证、、成等差，这就很好证了，所需注意的是，上面的证明中须d≠0（否则b－a、c－a、c－b等均为0）而d=0时，a=b=c，可推得==，原结

5、论当然也成立。例3．求和：（1）++……+（2）－+－+……+(－1)n.求n项之和，常常使用的策略是“拆项”，即把一项变为两项，使两两相抵，只剩下前面和后面的有限个项，如何拆须看题目的特点，如第（1）小题中通项ak=，注意到分子恰为分母两因式之差：an==－，“如可拆”也就不成其问题了。在第（2）小题中，通项ak=(－1)k=(－1)k[1+]=(－1)k[1+]，分拆方案也就出来了，所要注意的是前面的整数部分：偶数项时恰为0，而奇数项时为－1，故和式也应分n当奇数，偶数两种情形加以考虑。例4．在数列｛

6、an｝中，前n项和Sn=na+n(n－1)b，（b≠0）（1）求证｛an｝是等差数列；（2）求证：点Pn(an，－1)都落下在同一条直线上；（3）若a=1，b=，且P1，P2，P3三点都在以（r，r）为圆心，r为半径的圆外，求r的取值范围。在（1）中，应先根据an与Sn，Sn—1的关系，求出a1和n≥2时的an，要证｛an｝成等差，有三条途径：①把n≥2时的an=f(n)写为等差数列通项一般表达式：a1+(n－1)d，并验证n=1时，值恰为a1；②证明an+1－an为与n无关的定值，要特别检验a2－a1

7、是否也是通信定值；③证明2an+1=an+an+2，并特别验证2a2=a1+a3，（注意，切不可由2a2=a1+a3，2a3=a2+a4等具体项得出结论）。在（2）中把消去n，得一直线方程，即可说明问题。第（3）小题中，称确定P1，P2，P3坐标，使到（rr）距离大于r，解不等式组即可。例5．已知函数f(x)=，g(x)=sinx，α、β、x、y∈（－，）且x≠y，若f(x)、f(α)、f(y)成等差数列，g(x)，g(β)、g(y)也成等差数列，试判断α与β的大小，证明你的结论。要比α与β大小，因α、β

8、均在y=sinx的一个单调区间（－，）中，故只要比较sinα与sinβ的大小。由已知f(α)=，即=，形式臃肿，故分离常数，消肿，=，从而1－sinα=，为调和平均值形式，再化反而繁杂了。又sinβ=，形式虽然简洁，但与上面的形式有距离，故改写为1－sinβ=，为算术平均值形式。至此，问题迎刃而解，只须再把等号问题说清楚即可。例6．已知数列｛an｝是等差数列，在数列｛bn｝中，bn=anan+1an+2，若3a5=8a12＞0