中值定理的分析性质研究 　　　文献综述

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1、文献综述中值定理的分析性质研究　　　一、前言部分微分中值定理是微分学的基本定理之一，研究函数的有力工具．微分中值定理有着明显的几何意义和运动学意义．以拉格朗日(Lagrange)微分中值定理为例，它的几何意义：一个在上连续，在内可微的曲线段，必有，曲线在点的切线平行于连接点与的割线．它的运动学意义：设是质点的运动规律，则质点在时间区间上走过的路程为，在上的平均速度为，存在的某一时刻，质点在的瞬时速度恰好是它的平均速度．人们对微分中值定理的研究，从微积分建立之始就开始了．它首先是法国著名的数学家费马于1637年给出了费马定理，在教科书中，人们通常将它称为费马定理．

2、1691年，法国数学家罗尔(Rolle)在《方程的解法》一文中给出多项式形式的罗尔定理．1797年，法国数学家拉格朗日在《解析函数论》一书中给出拉格朗日定理，并给出最初的证明．对微分中值定理进行系统研究的是法国数学家柯西(Cauchy)，他首先赋以中值定理重要的作用，使其成为微分学的核心定理，并给出了广义的中值定理—柯西定理.二、主题部分一、微分中值定理产生的历史文献[1]和[2]中说到了微积分学简史，费马对微积分作出过重要的贡献．他在研究极大和极小问题的解法时，得到统一的解法“虚拟等式法”，从而得出原始形式的费马定理．所谓的虚拟等式法，用现代语言来说，对于函数

3、，让自变量从变化到，当为极值时，和的差近似为，用除虚拟等式，，然后让，就得到函数极值点的导数值为，这就是费马定理：函数在处取极值，并且可导，则．应该指出：费马给出以上结论，微积分还处于初创阶段，并没有明确导数，极限连续的概念，用现代眼光来看，其论断也是不严格的．现在看到的费马定理是后人根据微积分理论和费马发现的实质重新给出的．罗尔在1691年发表的论著《方程的解法》给出了“在多项式的两个相邻根中，方程至少有一个实根．”正好是定理的一个特例，这也是此定理成为罗尔定理的原因.罗尔当时提出这个结论，主要是针对多项式函数，现在看到的罗尔定理，是后人根据微积分理论重新证明

4、，并把它推广为一般函数．“罗尔定理”这一名称是由德国数学家德罗比什(Drobisch)在1834年给出，并由意大利数学家贝拉维蒂斯(Bellavitis)在1846年发表的论文中正式使用的．文献[1]-[5]中都涉及到了中值定理的基本概念.拉格朗日定理是微分中值定理中最主要的定理．它是指：“在上连续，在上可导，则存在一点，使．”这一定理是拉格朗日在《解析函数论》一书中首先给出的，它最初形式为：“函数在和之间连续，的最大值为，最小值为，则必取，之间一个值．”柯西定理被认为是拉格朗日定理的推广．它是指：设和在上连续，在上可导，并且，，则至少存在一点，使柯西的证明与拉

5、格朗日对拉格朗日中值定理很相似．微分中值定理在柯西的微积分理论系统中占有重要的地位．例如他利用微分中值定理给洛必达法则以严格的证明，并研究泰勒公式的余项．从柯西起，微分中值定理就成为研究函数的重要工具和微分学的重要组成部分．二、微分中值定理中间点的分析性质2.1Lagrange中值定理中间点的渐进性及其分析性质在一元函数微分学中，拉格朗日中值定理是核心,因此对Lagrange中值点的研究就成了一项重要内容．Lagrange中值定理只断言的存在性．至少有一个，但可能不止一个，除了对一些比较简单的函数，无法指明这种点的确切位置．文献[6]中有了下面的结论：结论1.若

6、函数满足下列条件：在上连续；在内存在二阶导数；，；则在内存在唯一一点，使得．结论2.若函数满足下列条件：在上连续；在内可导，且在的任何子区间上为非线性函数；方程在内恰有个根；则在内存在个点使得．结论3若函数满足下列条件：在上连续；在内可导；方程在内恰有个根；则在内至少存在一点，使得．在此给出结论1的证明：由Lagrange中值定理知，点是存在的．下面证明点的唯一性，用反证法：假设存在两点，分别使由条件二知函数在区间上满足Rolle定理，所以使得，这与题设条件3矛盾，因此，在内存在唯一一点，使得．此外，文献[7]-[9]中还给出了中间点的单调性、连续及可导性质：设

7、函数在上满足Lagrange中值定理的条件，对于任意，则当固定时．满足式（2．1）的“中间点”随而变化，并且具有下述性质．定理1设函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且在内严格单调，则（1）满足(2．1)式的点是的单值函数(简称函数)，记；（2）满足(2．1)式的点是的单调增加的函数．定理2设函数在闭医间上连续，在开区间内可导，又设在内具有二阶连续导数且在内保号(恒正或恒负)，则(1)满足(2．1)式的点是的连续函数；(2)满足(2．1)式的点是的可导函数，其导数为（2．2）定理3.设函数和是上二阶连续可导，且，在内保号(恒正或恒负)，则(1)满足(2．2)式的

8、“中问点”是的单值连续函