无穷级数的应用文献综述

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1、文献综述无穷级数的应用　　　　　　　一、前言部分无穷级数是序列的一种特殊形式[1~2]，一方面它的特殊结构使得有关级数收敛性及其求和的问题得到深入的研究，另一方面由于作为表达函数的一种工具，具有一些明显的优势。无穷级数又称为数项级数简称为级数是序列的一种特殊形式，定义如下:给定一个序列，用来表示的和，一般的就把称为无穷级数(1~9]。由这种关系可知，级数的一些性质实际上只是序列的性质的另一种表述，然而级数这一种新的形式为理论的展开提供了特别有效的途径，比如积分的计算[1~9]以及发散到其他领域的结论如拓扑学[10]。此外在函数

2、表达上利用比较简单的函数形式，逼近比较复杂的函数，这一点使得无穷级数在很多情况下是不可替代的。二、主题部分一，无穷级数的历史背景无穷级数思想的起源可以延续到公元前，古希腊的学者芝诺的二分法涉及到把1分解成无穷级数，古代中国的"一尺之棰，日取其半"[11]也含有类似的思想，但是级数最早被发现并研究于中世纪(14至16世纪)的印度的咯拉拉学校，该校的学者马德哈瓦(Madhava)和尼拉坎特哈(Nilakantha)，之后由造访印度的精通数学的耶稣会传教士带到了欧洲，并和牛顿的微积分紧密的结合在一起[11~12]。随着欧洲数学的不断

3、发展，无穷级数也出现了许多新的内容。首先应运而生的是级数收敛性质的各种判别法，从最简单的正数项级数比式判别法和根式判别法到拉贝判别法，之后在一般项级数中出现了级数不收敛的现象，又产生了一个绝对收敛的概念[1~9]。级数的概念产生之后，首先出现并急待解决的问题就是级数的一系列性质包括级数本身的运算[13~14]，而这里面比较重要的就是级数的收敛性，最普通的有级数收敛的柯西准则:级数收敛的充要条件是，任给的一个正数，总存在正整数，使得当以及对任意的正整数，都有[1~9]。这是级数收敛的一般判别方法，对于正数项级数，又产生了新的收敛

4、判断方法:达朗贝尔判别法和柯西判别法，以上又可称为比式判别法和根式判别法[1~9]。之后由正数项级数的特点更衍生出了一个比较简单的比较原则:设和是两个正项级数，如果存在某正数，对一切都有，则:(i)若级数收敛，则级数也收敛，(ii)若级数发散，则级数也发散，[1~9]。这个方法使得快速判断简单级数的敛散性成为可能，之后在一般项级数中出现的交错级数，绝对收敛级数以及应运而生的阿贝尔判别法和狄利克雷判别法[1~10]完善了数项级数的敛散性讨论。在把函数应用在数项级数的思想中之后，又出现了函数项级数，同样的是讨论了函数项级数的敛散性

5、之后得出了判断方法，不同的在于函数项级数出现了一个特殊的一致收敛性质:设函数列与函数定义在同一数集上，若对任给的正数，总存在某一正整数，使得当时，对一切，都有，则称函数列在上一致收敛于[1~9]。一致收敛性是由于函数项级数的特殊性拥有的性质.函数在级数中的应用在发散到特殊函数时，产生的一个新的级数称为幂级数这一过程，大大的扩展了级数的应用性，幂级数是由幂级数列所产生的函数项级数[1~9]，幂级数的研究与其他级数的研究一样，在讨论了敛散性之后更加注重于它的应用，也是级数真正开始跨领域应用的开始:函数的幂级数展开，这一点使得级数能

6、够以较简单的方法来表达更复杂的函数，换言之就是为函数多了一种表达方式，这使得级数在某种程度上完全和函数挂钩，使得求函数的问题转化为求级数的问题，级数在函数中的另一应用体现在特殊坐标系下的函数，如三角函数(傅里叶级数）[1~9]。至此，级数思想在其他数学领域开始发挥越来越大的作用。二，无穷级数在积分计算中的应用无穷级数在积分中的运算主要是运用无穷求和的思想，来进一步的研究在级数下的无穷和，定积分的提出和解决就用到了级数，在曲边梯形中，用已知的直边梯形求解法已经不适用了，因此提出了"分割，近似求和，取极限"[1]的解决方法，这就是

7、后来发展出来的定积分的概念背景，首先有区间的分割，再到函数的分割，而面积就接近于顶边函数和底边函数在分割之后产生的无穷多个长方形的和，具体的定义如下定义1设闭区间上有个点，依次为，它们把分割成个小区间。这些闭子区间构成对的一个分割，记为，小区间的长度为，并记为分割的模[1~9]。区间的分割仅仅是函数分割的一个思想发源，把这种无穷分割求和的方法作用在函数中后就有了如下定义定义2设是定义在上的一个函数，对于的一个分割任取点并作合式称此式为函数在上的一个积分和，，也称黎曼和[1~9]。这个定义为下面定积分定义的出现做了充足的铺垫:定

8、义3设是定义在上的一个函数，是一个确定的实数，若对任给的正数，总存在某一正数，使得对的任何分割，以及在其上任意选取的点集，只要，就有，则称函数在区间上可积，数称为函数在区间上的定积分[1~9]，至此，定积分的抽象概念已经完整的叙述出来，由此可见定积分的几何意义就是对于在区间上