控制系统中Lyapunov函数构造的研究文献综述

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1、文献综述控制系统中Lyapunov函数构造的研究一、前言部分：自从1948年诺伯特·维纳发表了著名的《控制论——关于在动物和机中控制和通讯的科学》一书以来，控制论的思想和方法已经渗透到了几乎有的自然科学和社会科学领域。维纳把控控制论制论看作是一门研究机器、生命社会中控制和通讯的一般规律的科学，是研究动态系统在变的环境条件下如何保持平衡状态或稳定状态的科学。控制论的主要特征有：1、要有一个预定的稳定状态或平衡状态。例如在速度控制系统中，速度的给定值就是预定的稳定状态。2、从外部环境到系统内部有一种信息的传递。

2、例如，在速度控制系统中，转速的变化引起的离心力的变化，就是一种从外部传递到系统内部的信息。3、这种系统具有一种专门设计用来校正行动的装置。例如速度控制系统中通过调速器旋转杆张开的角度控制蒸汽机的进汽阀门升降装置。4、这种系统为了在不断变化的环境中维持自身的稳定，内部都具有自动调节的机制，换言之，控制系统都是一种动态系统。在此，我主要研究控制论的第一个特征：系统的稳定性。由俄国著名科学家Lyapunov在十九世纪九十年代开创的运动稳定性理论,在物理科学和工程技术等各个领域都获得了广泛的应用.运动稳定性理论应用

3、的核心问题之一是Lyapunov函数的构造,很多科学家和力学家在这方面都做了大量的工作.二、主题部分：2.1稳定理论的发展在廖晓昕的《稳定性的理论方法与应用》一书中,对稳定性理论的产生与发展有如下介绍[1]:稳定性概念的出现,已经有非常悠久的历史了,早在17世纪就出现过托里斯利原理,即物体仅受重力作用,当重心位置最低时其平衡是稳定的,反之是不稳定.但在动力学方面,对应于稳定运动的严格的解的选择原理却未建立.稳定性概念也早被拉普拉斯、拉格朗日、马克斯威尔、汤姆逊和德特、庞加莱等采用过,但都没有精确的数学定义.

4、达郎培尔、拉格朗日、马克斯威尔、魏施涅格特斯基、茹科夫斯基即斯图多等采用过一次近似方法研究稳定性,但未从数学上严格证明其合理性.因此,可以说,在这之前,稳定性的一般理论,迟迟没有形成.1892年,俄国数学力学家李雅普诺夫的博士论文“运动稳定性的一般问题”才给出了运动稳定性严格、精确的数学定义和一般方法,从而奠定了稳定性理论的基础.但人们对李雅普诺夫理论的了解、欣赏、继承和发展,也有一个漫长的过程.1952年,苏联著名数学家马尔金的专著《运动稳定性》及1955年苏联著名控制论专家列托夫的专著《非线性调节系统的

5、稳定性》同时在序言中提到[2]“现代自动调节理论,不论它以何种体系出现,总是发轫于一个唯一牢固的基础李雅普诺夫运程稳定性学说.”1976年美国布朗大学著名数学家LaSalle教授在动力系统稳定性的序言[3]中写到:“在某种程度上可以说,李雅普诺夫的直接法在西方重新发现时五十年代中期的事.那时至少在非线性控制系统的设计中已广泛低承认了它的重要性.我对于李雅普诺夫理论的理解和赏识始于1959年……”稳定性的重要意义,可想而知,小到一个具体的控制系统,大至一个社会系统、金融系统、生态系统,总是在各种偶然的过持续的

6、干扰下运行的.承受这种干扰之后,能否保持预定的运行或工作状态,而不致于失控,摇摆不定,至关重要.近十多年来,人工神经网络的理论和应用的研究,形成了世界性的热潮,其中稳定性扮演重要的角色,利用动力系统的吸引子和电子电路的实现来完成某些智能优化计算、联想记忆、学习算法.从而对稳定性理论感兴趣的已远远不止于数学、力学、自动控制专业的学者.2.2Lyapunov函数稳定性的基本概念2.2.1常Lyapunov函数稳定性定义首先考虑如下的常Lyapunov函数初值问题,,(1.1)这里是连续的,为中的某个开区域,.又

7、设满足李普希茨条件,即存在正常数使得对于任意的,函数满足不等式.设Lyapunov函数(1.1)总有零解,即.用表示初值问题(1.1)于上的唯一解.下面给出Lyapunov函数(1.1)零解的稳定性定义.定义1.1如果对于任意的,及对于任意的,存在,使得对于任意的及任意的,有成立,则称(1.1)的零解是稳定的.定义1.2如果对于任意的,存在,使得对于任意的,对于所有的有定义,且当时,,则称(1.1)的零解是吸引的.定义1.3如果(1.1)的零解是稳定的,并且是吸引的,则系统称(1.1)的零解是渐近稳定的.上

8、面的稳定性指的是Lyapunov所建立的未被扰动运动的稳定性,是针对局部小范围而言的.换句话说,是在初始扰动很小的情况下讨论系统的稳定性(即局部稳定性).而对于初始扰动为任意大的情形,有如下的全局渐近稳定性定义.定义1.4(1.1)的零解称为是全局渐近稳定的,如果它是稳定的,并且(1.1)的所有其它解都具有性质2.2.2时滞Lyapunov函数稳定性定义类似于Lyapunov函数(1.1),下面给出时滞Lyapu