高中数学第1章算法初步1.1算法的含义知识导引学案

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1、1．1　算法的含义案例探究有8个小球，其中7个重量相同，仅有一个较重，用天平如何称出那个重的小球．方法1：把8个小球分成四组，依次将每组放在天平上，直到某一组不平衡，就可确定重的小球，最多需称4次．方法2：（1）从8个小球中任取6个小球，将这6个小球每边3个置于天平上；（2）若天平平衡，则表明重的小球在剩余的2个小球中，只需将那两个小球放在天平上再称1次就可找到重的那个小球；（3）若天平不平衡，则从较重的一边的3个球中任取两个球称量，若平衡，则剩下的那个即为要找的小球，若不平衡，则重的那边就是要找的小球．我们做任何事情，都是在一定条件下按某种顺序执行一系列操作．解决

2、数学问题也常常如此，这就是本节内容要研究的算法思想．自学导引一般而言，对一类问题机械的、统一的求解方法称为算法．1．算法概念的理解（1）算法是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确有效的，而且能在有限步骤之内完成．（2）算法与一般意义上具体问题的解法既有联系，又有区别，它们之间是特殊与一般的关系，也是抽象与具体的关系．算法的获得要借助一般意义上具体问题的求解方法，而任何一个具体问题都可以利用这类问题的一般算法来解决．（3）算法一方面具有具体化、程序化、机械化的特点，同时又有高度的抽象性、概括性、精确性，所以算法在解决问题中更具条理性、逻

3、辑化特点．2．算法的五个特点（1）概括性：写出的算法必须能解决一类问题，并且能重复使用．例如：给出求解方程组的一个算法．解析：解这个方程组的步骤是：第一步：②-①×2得5y=3；③第二步：解③得y=；第三步：将y=代入①，得x=．像上例二元一次方程组的求解问题，也适用于其他二元一次方程组的求解．（2）正确性与顺序性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，而且每一步都是正确无误的，从而组成了一个有着很强逻辑性的序列．（3）有限性：算法有明确的开始和结束界限，终止时表示问题得到解答或指出问题没解，是在有限步骤内求解某

4、一问题．（4）不唯一性：求解某一问题的算法不是唯一的，可以有不同的算法．当然这些算法有繁简之分，但是都能解决这一类问题．6（5）普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，例如，手算、心算、用算盘、用计算器算都要经过有限的、事先设计好的步骤来实现．同样的一个工作计划，生产流程都可以视为算法．疑难剖析算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础．随着现代信息技术的飞速发展，算法在科学技术、社会发展中发挥着越来越大的作用，并日益融入社会生活的方方面面，算法思想已成为现代人应具备的一种数学素养．算法是高中数学课程的新增内容，其思想方法是非常重要的．【例1】

5、试写出求解二元一次方程组的算法．思路分析：本题主要考查二元一次方程组的解的算法．不妨设二元一次方程组为对于求方程的根，解方程组这样的数值性的问题，我们都有具体的计算方法，只要我们把平时的计算方法严格地按步骤把它描述出来即可．因此我们很容易得到下面的算法．解：由于是二元一次方程组，故方程组中a11、a21不能同时为0．第一步，假定a11≠0(如果a11=0，可将第一个方程与第二个方程互换)，①×(-)+②得到（a22-）x2=b2-．即方程组可化为第二步，如果a11a22-a21a12≠0，解方程④得到x2=⑤第三步，将⑤代入③，整理得到x1=⑥第四步，输出结果x1、x

6、2．如果a11a22-a21a12=0,则从④可以看出方程组无解或有无穷多组解．嗣位启示：从本例可以发现，求解某个问题的算法不同于求解一个具体问题的方法，算法必须能够解决一类问题．并且能够重复使用；算法过程要能一步一步地执行，每一步操作必须确切，能在有限步后得出结果．变式训练：1．试写出求一元二次方程ax2+bx+c=0的根的算法．解：第一步：计算Δ=b2-4ac；第二步：如果Δ<0．则原方程无实数解，否则（Δ≥0）6第三步：输出x1,x2或无实数解的信息．2．试写出求x2-5x-6>0的解的算法．解：第一步：求对应方程x2-5x-6=0的两根x1=-1,x2=6．

7、第二步：写出解集{x

8、x>6或x<-1}．【例2】写出求1+2+3+4+5+6的一个算法．思路分析1：按照逐一相加的程序进行．解法1：第一步：计算1+2，得3；第二步：将第一步中的运算结果3与3相加得6；第三步：将第二步中的运算结果6与4相加得10；第四步：将第三步中的运算结果10与5相加得15；第五步：将第四步中的运算结果15与6相加得21．思路分析2：可以运用公式1+2+3+…+n=；直接计算．解法2：第一步：取n=6；第二步：计算；第三步：输出运算结果．思维启示：题目尽管简单，还是要一步一步地做．否则就不能利用上述算法解决这一类问题．变式训练：