课标通用高考数学一轮复习第三章-3.1变化率与导数导数的计算学案理

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1、§3.1　变化率与导数、导数的计算考纲展示►　1.了解导数概念的实际背景．2．理解导数的几何意义．3．能根据导数定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝的导数．4．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如y＝f(ax＋b)的复合函数)的导数．考点1　导数的概念及运算法则1.导数的概念函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率＝为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′

2、x＝x0，即f′(x0)＝＝________.函数f(x)的导

3、函数：称函数f′(x)＝为f(x)的导函数．答案：2．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝C(C为常数)f′(x)＝________f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝________f(x)＝sinxf′(x)＝________f(x)＝cosxf′(x)＝________f(x)＝exf′(x)＝________-13-f(x)＝ax(a＞0，a≠1)f′(x)＝________续表基本初等函数导函数f(x)＝lnxf′(x)＝________f(x)＝logax(a＞0，a≠1)f′(x)＝________答案：0　αxα－1　cosx

4、　－sinx　ex　axlna　　3．导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝________；(2)[f(x)g(x)]′＝________；(3)′＝(g(x)≠0)．答案：(1)f′(x)±g′(x)　(2)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)4．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝________，即y对x的导数等于________的导数与________的导数的乘积．答案：yu′·ux′　y对u　u对x(1)[教材习题改编]在高台跳水运动中，ts时运动员相对于水面的高度(单位

5、：m)是h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.则运动员的速度v＝________，加速度a＝________.答案：－9.8t＋6.5，－9.8(2)[教材习题改编]f(x)＝cosx在点处的切线的倾斜角为________．答案：导数运算中的两个误区：变量理解错误；运算法则用错．(1)若函数f(x)＝2x3＋a2，则f′(x)＝________.-13-答案：6x2解析：本题易出现一种求导错解：f′(x)＝6x2＋2a，没弄清函数中的变量是x，而a只是一个字母常量，其导数为0.(2)函数y＝的导函数为__________．答案：y′＝解析：y′＝＝，易用错

6、商的求导法则．[典题1]　分别求出下列函数的导数：(1)y＝exlnx；(2)y＝x；(3)y＝x－sincos；(4)y＝ln.[解]　(1)y′＝(ex)′lnx＋ex(lnx)′＝exlnx＋ex·＝ex.(2)∵y＝x3＋1＋，∴y′＝3x2－.(3)∵y＝x－sinx，∴y′＝1－cosx.(4)∵y＝ln＝ln(1＋2x)，∴y′＝··(1＋2x)′＝.[点石成金]　导数的运算方法(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导．(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导．(3)对数形式：先化为和、差的形式，再

7、求导．(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导．-13-(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导．(6)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导．考点2　导数运算的应用[典题2]　(1)[2017·吉林实验中学高三]函数f(x)的导函数f′(x)，对∀x∈R，都有f′(x)>f(x)成立，若f(ln2)＝2，则满足不等式f(x)>ex的x的范围是(　　)A．(1，＋∞)B．(0,1)C．(ln2，＋∞)D．(0，ln2)[答案]　C[解析]　设F(x)＝，F′(x)＝＝>0，∴F(x)在定义域R上单调递增，不等式f(x)>ex即F(

8、x)>1，∵f(ln2)＝2，∴F(ln2)＝1，即F(x)>F(ln2)，∴x>ln2，故选C.(2)已知f(x)＝x2＋2xf′(2016)＋2016lnx，则f′(2016)＝________.[答案]　－2017[解析]　由题意得f′(x)＝x＋2f′(2016)＋，所以f′(2016)＝2016＋2f′(2016)＋，即f′(2016)＝－(2016＋1)＝－2017.(3)在等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)，则f′(0)的值为________．[答案]　212[解析]　因为f′(

9、x)＝x′·[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a