不等式证明的教学研究文献综述

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1、文献综述不等式证明的教学研究一、前言部分不等式是一件非常有用的工具，除在数学领域外，还包括物理学、工程学、教育学等诸多领域中被广泛使用。要想运用不等式，首先要解决的是如何获得这些不等式。因此不等式的证明成为了一个难题，其中包括数学教育方面。在阅读了一些有关中学数学、大学数学的不等式证明这方面的文献资料和教育理论资料，本文整理出了一些平时学习中比较常见、常用的不等式的表述，同时也列举了一些不等式的证明，不等式的应用的例题以及不等式在教学中的教育价值。1、一些常见不等式Cauchy（柯西）不等式设有两组实数和，则有或写成。当且仅当时等号成立。推论当且仅当时，等号成立。Jensen不等

2、式如果为连续实值凸函数，且，则有。注1：经典的Jensen不等式：设是凸函数，是上的可积函数，则几何与算术平均不等式：贝努利不等式：设，实数都大于-1，并且它们都有着相同的符号，则成立；特别地，当，且，成立。Young不等式：设，则对任意，成立，其中等号成立的充要条件是。证当，不等式显然成立；设，注意到当时，有，等号成立当且仅当。设，令，代入上式，且同乘以；得，即得；在上式中取，于是得到。Young逆不等式：设，此时，则对，成立，等号成立当且仅当。证注意到当时，有，等号成立当且仅当。设，令，代入上式，且同乘以；得，即得；在上式中取，于是得到。注2：带的Young不等式：设且满足，

3、则伯努利不等式对，（i）若或，则。（ii）若，则。Cauchy-schwarz不等式：设均在上可积，则有以下不等式，并且当存在一组不全为零的数使得时等号成立。证利用变上限的积分函数构造辅助函数，令则显然有，所要求证明的Cauchy-schwarz不等式也即要证明，从而可以转化为证明在上为单调不增的函数即可。由于在区间上均连续，所以由变上限的积分函数的性质可以知道在区间上可导，并且可以由求导法则计算得到所以当时，。故在上单调非增，从而。2、几个定理的表述拉格朗日中值定理如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，那么在内至少有一点，使（这个定理的特殊情形称罗尔定理）。推论：1、2、3、

4、。柯西中值定理设都在区间上连续，在内可导且，则存在，使得成立。泰勒定理（1）函数在闭区间上存在直到阶连续导数。（2）在开区间内存在的阶导数，则对任何，至少存在一点，使得二、主题部分1、不等式的证明（一）利用函数思想证明不等式函数思想是利用函数的概念、性质和图象去分析问题、转化问题和求解问题,它是一种很重要的数学思想方法,函数是研究变量的变化规律,所以只要有变量的问题就可以利用函数思想。例1设，证明：（1）；（2）证（1）令，则令，则所以当时，。所以所以，所以即（2）令，则。由（1）可知，从而，即，即。说明1：利用函数的单调性证明不等式时，如果一阶导数的符号不能确定，可以利用二阶或

5、三阶导数符号来确定。说明2：在利用单调性证明不等式时，如能对欲证的不等式作适当的恒等变形，往往可以使问题得以简单。例2证明：若，则对于中的任意有：证设函数。有令，得唯一驻点。从而所以，是极小值点也是最小值点。最小值为。两边界为。所以。说明3：当题设满足以下条件时可以用该方法：（1）所设函数在某闭区间上连续，开区间内可导，但在所讨论的区间上不是单调函数时；（2）只能证不严格的不等式而不能证明严格的不等式。定义1设为定义在区间上的函数，若对上任意两点和实数，总有，，则称为上的凸函数。反之，则称为凹函数。例3对任意实数有证设，则，故为上的凸函数，由凸函数的定义：对，有即定义2所谓多变量

6、不等式,就是一个不等式中有多个变量,而且一般情况下是齐次变量,如果是二次的,那么可以构造一个关于其中一个变量的二次函数,然后利用二次函数的单调性或者求最值或者利用二次函数的图像分析问题,从而得到想要证明的结果.。例4设，，为任意三角形的三个内角,对于任意实数。求证：证根据题意,先将特征式整理为关于的二次函数模型,再利用函数及方程的有关性进行推理论证。将看做是常数，构造关于的函数因为。又因为函数图像开口向上，所以。故（二）利用中值定理证明不等式例4已知，求证：。证设，由拉格朗日中值定理及得，因而。又，于是，所以。例5设，证明。证设则。对于在上应用柯西中值定理有设，考察，。显然当时，

7、即，。所以在时单调递减。从而。即，故。说明4：柯西中值定理是研究两个函数变量关系的中值定理，当一个函数取作自变量自身时，它就是拉格朗日中值定理，所以能用拉格朗日中值定理证明不等式一定能用柯西中值定理来证，反之则不然。（三）利用高等数学解决初等数学不等式运用所学的高等数学知识、观点和方法去联系和研究初等数学,使“高初”有机的结合起来,无疑是非常重要的。例6已知，求证证此题用常规的做法不容易证明，事实上，我们稍作变形。由于且，有伯努利不等式可知，所以成立。例7设，且，求证：。证由柯西