2017_18学年高中数学第一章直线多边形圆2.2圆的切线的判定和性质学案北师大版选修

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1、2．2　圆的切线的判定和性质[对应学生用书P15]1．切线的判定定理文字语言符号语言图形语言切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线OA是圆O的半径．直线l⊥OA且A∈l，则l是圆O的切线2．切线的性质定理及推论文字语言符号语言图形语言切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径直线l与圆O相切于点A，则l⊥OA推论1经过圆心且垂直于切线的直线经过切点直线l与圆O相切于点A.过O作直线m⊥l，则A∈m推论2经过切点且垂直于切线的直线经过圆心直线l与圆O相切于点A过A作直线m⊥l，则O∈m3．切线长定理过圆外一点作圆的两条切线，这

2、两条切线长相等．怎样求圆的切线长？提示：利用圆外的点、圆心、切点构成的直角三角形求长．[对应学生用书P16]切线的判定定理的应用12[例1]　如图，在△ABC中，∠C＝90°，BE是角平分线，DE⊥BE交AB于D，⊙O是△BDE的外接圆．求证：AC是⊙O的切线．[思路点拨]　本题主要考查切线的判定问题，解此题时只需证明AC⊥OE即可．[精解详析]　连接OE.∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠OBE.又∵BE平分∠CBD，∴∠CBE＝∠DBE.∴∠OEB＝∠CBE.∴EO∥CB.∵∠C＝90°，∴∠AEO＝90°，即AC⊥OE.∵E为⊙O半径OE的外端，∴

3、AC是⊙O的切线．证明直线与圆相切一般有以下几种方法：(1)直线与圆只有一个公共点；(2)圆心到直线的距离等于圆的半径；(3)切线的判定定理．几何证明问题常用方法(3)．1．如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是(　　)A．DE＝DO　　　　　　　　　B．AB＝ACC．CD＝DBD．AC∥OD12解析：选A　当AB＝AC时，如图：连接AD，因为AB是⊙O的直径，所以AD⊥BC，所以CD＝BD，因为AO＝BO，所以OD是△ABC的中位线，所以OD∥AC，因为DE⊥AC

4、，所以DE⊥OD，所以DE是⊙O的切线．所以B正确．当CD＝BD时，AO＝BO，同B，所以C正确．当AC∥OD时，因为DE⊥AC，所以DE⊥OD.所以DE是⊙O的切线．所以D正确．2．已知D是△ABC的边AC上的一点，AD∶DC＝2∶1，∠C＝45°，∠ADB＝60°，求证：AB是△BCD的外接圆的切线．证明：如图，连接OB，OC，OD，OD交BC于E.∵∠DCB是所对的圆周角，∠BOD是所对的圆心角，∠BCD＝45°，∴∠BOD＝90°.∵∠ADB是△BCD的一个外角，∴∠DBC＝∠ADB－∠ACB＝60°－45°＝15°，∴∠DOC＝2∠DBC

5、＝30°，从而∠BOC＝120°.12∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝30°.在△OEC中，∵∠EOC＝∠ECO＝30°，∴OE＝EC.在△BOE中，∵∠BOE＝90°，∠EBO＝30°，∴BE＝2OE＝2EC，∴＝＝，∴AB∥OD.∴∠ABO＝90°，故AB是△BCD的外接圆的切线.切线的性质定理的应用[例2]　如图，已知∠C＝90°，点O在AC上，CD为⊙O的直径，⊙O切AB于E，若BC＝5，AC＝12.求⊙O的半径．[思路点拨]　⊙O切AB于点E，由圆的切线的性质，易联想到连接OE构造Rt△OAE，再利用相似三角形的性质，求出⊙O的半径．

6、[精解详析]　连接OE，∵AB与⊙O切于点E，∴OE⊥AB，即∠OEA＝90°.∵∠C＝90°，∠A＝∠A，∴Rt△ACB∽Rt△AEO，∴＝.∵BC＝5，AC＝12，∴AB＝13，∴＝，∴OE＝.即⊙O的半径为.利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算有时需添加辅助线，其中连接圆心和切点的半径是常用辅助线，从而可以构造直角三角形，利用直角三角形边角关系求解，或利用勾股定理求解，或利用三角形相似求解等．123.如图，AB切⊙O于点B，延长AO交⊙O于点C，连接BC.若∠A＝40°，则∠C＝(　　)A．20°　　　　　　　　　B．25°C．40°　　

7、　　　　　　　D．50°解析：选B　连接OB，因为AB切⊙O于点B，所以OB⊥AB，即∠ABO＝90°，所以∠AOB＝50°，又因为点C在AO的延长线上，且在⊙O上，所以∠C＝∠AOB＝25°.4．AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB延长线于点C，若DA＝DC，求证：AB＝2BC.证明：连接OD，则OD⊥DC，又OA＝OD，DA＝DC，所以∠DAO＝∠ODA＝∠DCO，∠DOC＝∠DAO＋∠ODA＝2∠DCO，所以∠DCO＝30°，∠DOC＝60°，所以OC＝2OD，即OB＝BC＝OD＝OA.所以AB＝2BC.[例3]　如图，在

8、△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，过D作⊙O的切线交AC于E.求证：DE⊥AC.[思路点拨]　本题主要