四柱坐标系与球坐标系简介 (2)

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1、1．4　柱坐标系与球坐标系简介►预习梳理1．柱坐标系．建立空间直角坐标系Oxyz，设P是空间任意一点，在Oxy平面的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0，0≤θ<2π)表示点Q在平面Oxy上的极坐标，这时点P的位置可用有序数组(ρ，θ，z)(z∈R)表示．把建立上述对应关系的坐标系叫作柱坐标系．有序数组(ρ，θ，z)叫作点P的柱坐标，记作P(ρ，θ，z)，其中ρ≥0，0≤θ<2π，z∈R.空间点P的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间的变换关系为：________________．2．球坐标系．建立空间直角坐标系Oxyz，设P是空间任意一点，连接OP，记

2、OP

3、＝r

4、，OP与Oz轴正向所夹的角为φ，P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ，点P的位置可以用有序数组(r，φ，θ)表示．我们把建立上述对应关系的坐标系叫球坐标系(或空间极坐标系)．有序数组(r，φ，θ)叫作点P的球坐标，其中r≥0，0≤φ≤π，0≤θ<2π.空间点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间的变换关系为：__________________．►预习思考1．设P点柱坐标为.则它的直角坐标为____________．2．设点M的球坐标为，它的直角坐标为____________．,1．已知点P的柱坐标为，点Q的球坐标为

5、，则这两个点在空间直角坐标系中的点的坐标为(　　)A．点P(5，1，1)，点QB．点P(1，1，5)，点QC．点P，点Q(1，1，5)D．点P(1，1，5)，点Q1．B　2．设点M的直角坐标为(－1，－，3)，则它的柱坐标是(　　)A.　　　　　　B.C.D.2.C3．设点M的直角坐标为(－1，－1，)，则它的球坐标为(　　)A.B.C.D.　3.B4．在球坐标系中，两点P和Q之间的距离为(　　)A.B．2C．3D.4．解析：将P，Q两点的球坐标转化为直角坐标．yP＝3sincos＝，yP＝3sin·sin＝，zP＝3·cos＝，∴点P的直角坐标为.xQ＝3sincos＝

6、，yQ＝3sinsin＝，zQ＝3cos＝－，∴Q点的直角坐标为.∴

7、PQ

8、＝＝3，即P，Q之间的距离为3.答案：C5．已知点M的球坐标为，则它的直角坐标为____________，它的柱坐标是____________．5．(－2，2，2)　6．在球坐标系中，方程r＝3表示空间的(　　)A．以x轴为中心轴，底面半径为3的圆柱面B．以y轴为中心轴，底面半径为3的圆柱面C．以z轴轴为中心轴，底面半径为3的圆柱面D．以原点为球心，半径为3的球面6．D7．在柱坐标系中，方程ρ＝1表示______________________________．7．以z轴为中心轴，底面半径为1的圆

9、柱面8．在球坐标系中，方程φ＝表示空间的________________________________．8．顶点在原点，轴截面顶角为的圆锥面9．已知柱坐标系Oxyz中，点M的柱坐标为则

10、OM

11、＝__________．9．解析：设点M的直角坐标为(x，y，z)，且x2＋y2＝ρ2＝4，∴

12、OM

13、＝＝＝3.答案：310．在柱坐标系中，满足的动点M(ρ，θ，z)围成的几何体的体积为________．10．解析：根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知满足ρ＝1，0≤θ＜2π，0≤z≤2的动点M(ρ，θ，z)的轨迹是以直线Oz为轴，轴截面为正方形的圆柱面，其底面半径r＝1，高h＝2，

14、∴V＝Sh＝πr2h＝2π.答案：2π11．在柱坐标系中，长方体ABCDA1B1C1D1的一个顶点在原点，另两个顶点坐标分别为A1(8，0，10)，C1，则此长方体外接球的体积为________．11.π12．在球坐标系中，求两点P、Q的距离．12．解析：将P，Q两点球坐标转化为直角坐标：P：x＝3sincos＝，y＝3sinsin＝，z＝3cos＝，∴点P的直角坐标为.Q：x＝3sincos＝－，y＝3sinsin＝，z＝3cos＝，∴点Q的直角坐标为.∴

15、PQ

16、＝＝，即P、Q的距离为.13．一个圆形体育馆，自正东方向起，按逆时针方向等分为十六个扇形区域，顺次记为一区，

17、二区…十六区，我们设圆形体育场第一排与体育中心的距离为200m，每相邻两排的间距为1m，每层看台的高度为0.7m，现在需要确定第九区第四排正中的位置A，请建立适当的坐标系，把点A的坐标求出来．13．解析：以圆形体育场中心O为极点，选取以O为端点且过正东入口的射线Ox为极轴，在地面上建立极坐标系，则点A与体育场中轴线Oz的距离为203m，极轴Ox按逆时针方向旋转，就是OA在地平面上的射影，A距地面的高度为2.8m，因此我们可以用柱坐标来表示点A的准确位置．所以点A的柱坐标为.14．建立适当的柱坐标系，表示棱长为3的正四面体各个顶