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《程维虎《概率论与数理统计》教学讲义22》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第三节抽样分布分布图示★抽样分布★单正态总体的抽样分布★例1★例2★例3★例4★例5★双正态总体的抽样分布★例6★例7★一般总体抽样分布的极限分布★内容小结★课堂练习★习题5・3★返冋内容要点—、抽样分布有时，总体分布的类型虽然已知，但其中含有未知参数，此吋需对总体的未知参数或对总体的重要数字特征(如数学期望、分差等)进行统计推断，此类问题称为参数统计推断.在参数统计推断问题中，常需利用总体的样本构造出合适的统计量，并使其服从或渐近地服从已知的总体分布.统计学中泛称统计量分布为抽样分布.讨论抽样分布的途径有两个.一是精确地求11!抽样分布，并称相应的统计推断为小样本统计推断；另一种方式是让样
2、本容量趋于无穷，并求出轴样分布的极限分布.然后，在样本容量充分大时，再利用该极限分布作为抽样分布的近似分布，进而对未知参数进行统计推断,称与此相应的统计推断为人样木统计推断.这里重点讨论正态总体的抽样分布，属小样本统计范畴；此外，也简要介绍一般总体的某些抽样分布的极限分布，属大样本统计范畴。二、单正态总体的抽样分布设总体X的均值“,方差为/,X],X?,X”是取自X的一个样本，乂与S?分别为该样本的样本均值与样本方差，则有E(S2)=EH/=1=占[学(附)-也(乂卄占恪小小一”才/卄亍)=a2故有下列定理：定理1设总体X~N(“q2),X
3、,X2,…,X”是取自X的一个样本，乂与W分别为该
4、样本的样本均值与样本方差，则有定理2设总体X~7V(“q2),Xi，/,…,X”是取自X的一个样本，乂与炉分别为该样本的样本均值与样本方差，则有〜龙2(粒_1)；(2)片与S?相互独立.定理3设总体X〜N(“q2),XpX2,...,Xn是取自X的一个样本，乂与S'分别为该样本的样本均值与样本方差，则有(1)—“)2~/何b/=1X-U(2)T=—〜心-1).S/厶三、双正态总体的抽样分布定理4设X〜N(丛)与Y〜N(“2Q；)是两个相互独立的正态总体，又设X”X2,…,X“是取自总体X的样本，片与S；分别为该样本的样本均值与样本方差.冷§，•••，£是取自总体丫的样本，歹与S；分别为此样本
5、的样本均值与样本方差.再记S」是S：与S孑的加权平均，即S2_（厲-1）S「+（兀2-1）S^M/?]+兄2_2（1）=（X-TWA1SA2）荷/®+"力2(rox(2)F=二〜尸⑷―1/1)；W丿S3_⑶当时，丁=(1-"2)〜心_2).s/15+1/勺_四、一般总体抽样分布的极限分布定义1设耳(x)为随机变量X“的分布函数，F(x)为随机变量X的分布函数，并记C(F)为由F(x)的全体连续点组成的集合，若limf；(x)=F(x),VxeC(F),则称随机变量X”依分布收敛于X,简记为X”—或耳命题设随机变量X有连续的分布函数，且有则x,y」^x.定理5设X],X2，・・・,X“为总体
6、X的样本，并设总体X的数学期望与方差均存在，记为EX=^DX=a2.记统计量U=乂一卩T二戸一11GIy/n'S/y[n'其中乂与S分别表示上述样本的样本均值与样本方差，则有⑴®”(兀)①。(x),(2)G(x)①()(X),以上FUn(x),FTn(x)与①(x)分别表示匕,7；与标准正态分布的分布函数.注：定理4成立的条件只是总体的方差存在，这样当样本的容量“充分大时，和7；都近似地服从标准正态分布，因此在肝已知时，可用匕对“进行统计推断；在/未知时,可用7；对“进行统计推断。例题选讲单正态总体的抽样分布例l(EOl)设X~N⑵公),X],X2，・・・,X25为X的一个样本，求:⑴样本均
7、值乂的数学期望与方差；(2)P{
8、X-21
9、<0.24}.解(1)由于X~"(21,22),样本容量心25,(护、所以片〜/V21,—25；/2?,于是施)=21,砸)=云_V_n1(2)由乂川⑵g),得孟~畑),故P{
10、X-21
11、<0.24}=PX-210.450.6〉=2^(0.6)-1=0.4514.例2(E02)假设某物体的实际重量为“，但它是未知的.现在用一架天平去称它，共称了〃次，得到X
12、,X2,…,X”.假设每次称量过程彼此独立且没有系统误差，则可以认为这些测量值都服从正态分布N方差”2反映了天平及测量过程的总精度，通常我们用样木均值乂去估计“，根据定理1,牛].再从止态分布
13、的3o■性质知>99.7%.
14、X-Al<3(7石这就是说，我们的估计值片与真值“的偏差不超过3厂五的概率为99.7%,并且随着称量次数〃的增加，这个偏差界限3(7/徧愈来愈小.例如若CT=0.1,n=10.贝ijP
15、X_〃
16、v=P{
17、X_“
18、v0.09}>99.7%,于是我们以99.7%的概率断言，X与物体真正重量“的偏差不超过0.09.如果将称量次数〃增加到100,则=P{X-/i<0.03}>99.7
