几类二阶微分系统解的有界性和收敛性文献综述

《几类二阶微分系统解的有界性和收敛性文献综述》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、文献综述几类二阶微分系统解的有界性和收敛性一、前言部分微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解．牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解．后来瑞士数学家雅各布·贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论．常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的．数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具．牛顿研究天体力学和

2、机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律．后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置．这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量．微分方程有着广泛的应用背景，因此微分方程的研究是应用数学领域的主要分支学科.历史上人们研究微分方程的过程往往是研究其初等解法开始，随着研究的深入，由著名数学家刘维尔证明常微分方程没有一般的求解方法，人们转而从方程本身开始研究微分方程解的性质.随着数学与其他科学的日益发展，人们在研究微分方程解的定性与稳定性上所使用的理论方法也越来越丰富.在这些定性与稳定性

3、的具体研究中，很多具体微分方程的定性与稳定性的研究都是从研究其解的有界性开始的，这就使得研究微分方程解的有界性是重要而有意义的工作.从世纪末开始到现在，学者们对常微分方程定性理论仍在不断的研究，对其解的收敛性也作了较为全面的研究，这一点只要查看各种学术期刊就不难发现有许多是关于微分方程的解的研究．近来，涌现出一大批文献研究微分方程的轨线的收敛性，这方面的研究主要是由著名学者Hirsch关于单调流及合作向量场的工作引起的．Hirsch关于单调流及合作向量场的工作，使人们认识到研究微分系统轨线收敛性的重要性．因此，最近关于二阶微分方程的解的收敛性问题的研究越来越多了．又由于二阶微分

4、方程的解的收敛性的许多研究成果往往可以应用到日常实际生活当中去，如自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等．随着科学技术的日益发展，有关二阶微分方程的模型也越来越多．因此， 继续研究二阶微分方程的解的收敛性始终是一项有实际意义的工作．一、主题部分关于二阶微分系统解的有界性和收敛性的研究，许多学者进行了较为深入的研究，并已经获得了大量的结果，现将已有文献的结果综述如下：文献主要研究了1926年，VanderVol在无线电技术耗散结构理论及其它技术理论中提出了二阶微分方程.(1)随着科学技术的日益发展,人们必须考虑比方程(

5、1)更为广泛的二阶微分方程．比如，多项式微分系统中很多实际问题可以归结为更一般的形式．其中，由著名的数学物理学家Liénard在考虑更广的物理学意义背景下,将方程(1)改进推广为(2)称为Liénard方程．在具体的研究工作中，Liénard引入了如下著名的Liénard变换(3)得到(4)称之为Liénard系统．Liénard系统分为一般Liénard系统和广义Liénard系统两个部分．文献[7-12]研究了Liénard系统(4)及广泛的非线性二维微分系统（5）解的有界性问题，其中和是正奇整数之比，，函数是上的连续实函数，且对任意，有并获得了有界解的充分条件，改进了已有

6、的文献．由于我们研究的问题越来越具体，随着实际问题的深入，归结的Liénard方程具有更一般的形式．而这类方程具有更大的广泛性，因而所刻画的结果也更具有其理论意义和实际意义．文献[13]研究了一类广义Liénard系统(6)获得有界解，无界解的一系列充分条件或充要条件，并且改进和推广了已有文献．有关二阶微分系统解的收敛性也取得了较为丰富的结果，其主要文献有[14,15]，这些文献研究了如下的二阶微分系统（7）其中（8）获得主要结果为定理若系统(8)满足下列条件为连续可微函数.为连续函数；且，有界；存在连续函数使得对每个都成立；；存在常数，使时，，且；则系统（8）的每个解具有性质

7、：，.进一步存在连续函数使得，则是的零点.从已有文献中可以知道，二阶微分系统解的有界性和收敛性仍然是当今微分方程研究的一个热点．一、总结部分以上有关二阶微分方程解的有界性和收敛性的文献总结，说明了二阶微分方程在数学研究中有着广泛的应用模型，这些研究成果已渗透到了社会的方方面面，如自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等,这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题．应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但