研究-芜湖一中研究性学习课题论文——递推数列问题的研究

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1、芜湖一中研究性学习课题论文递推数列问题的研究研究目的：探究如何解决递推数列问题，主要研究通过递推公式求通项公式的各种类型问题研究计划：①确定探究对象及探究方向Q查找资料，以及相关文献③整理资料，并确定主要论述的问题④完成论文研究成果形式：论文制作人：高二（14）班江翔宇引子这是印度的一个古老传说，舍罕王打算重赏象棋发明人宰相达依尔。这位聪明的大臣跪在国王而前说：“陛下，请您在这张棋盘的第一个小格內，赏给我一粒麦子，在第二个小格内给两粒，第三格内给四粒，用这样下去，每一小格内都比前一小格加一倍。陛下，把这样摆满棋盘上所冇64格的麦粒，都赏给您的仆人吧!”“爱卿，

2、你所求的并不多啊。”国王说道，心里为口己对这样一件奇妙的发明赏赐的许诺不致破费太多而(1咅喜。“你当然会如愿以偿的，”国王命令如数付给达依尔。计数麦粒的工作开始了，第一格内放1粒，第二格内放2粒第三格内放2?粒，…还没有到第二十格，一袋麦子已经空了。一袋又一袋的麦子被扛到国王面前来。但是，麦粒数一格接一格飞快增长着，国王很快就看出，即便拿全印度的粮食，也兑现不了他对达依尔的诺言。原來，所需麦粒总数1+2+22+23++263这个数究竟冇多大？折合成质量究竟是多少呢？首先需要的就是对上式求和，而对上式求和首先要做的，就是通过递推公式求出通项公式，也就是下文我们要

3、探讨的问题。数列是中学数学中一个非常重要的内容，也是高考和数学竞赛的重要组成部分。数列大休上讨论两种问题：一是求数列的通项公式；二是数列求和问题。本文就以第一类问题为侧重点，介绍处理数列递推问题的常见方法、常见思想。首先，我们先给出数列的定义：按照一定规律排列的一列数称为数列例如：1.按照从小到大顺序排列，从1开始的全体自然数1,2,3,4,5,(1)称为自然数列。2.按照从小到人的顺序排列，从2开始的全体正偶数2,4,6,&10,……(2)称为正偶数数列。3.按照从小到人的顺序排列，从1开始的全体正奇数1,3,5,7,9,・・・・・・(3)称为正奇数数列。4

4、.按照从小到大的顺序排列，从2开始的全体正素数2,3,5,7,11,……(4)称为素数数列。5.按照从小到大的顺序排列，从1开始的全体平方数1,4,9,16,25,……(5)称为平方数数列。6.按照从小到人的顺序排列，从1开始的全体白然数的倒数称为倒数数列。数列中的数，称为数列中的项，第n个数称为第n项。第一个数也称为首项。对于一个数列，如果我们想研究它的性质，我们希望知道它的项是山哪些数组成？这些书是怎样排列的？对于上面的数列，有些我们可以很明白的知道这些答案。但如果仔细推敲，对于(4)还存在疑问：给定一个自然数，如何判定它是否其中的项呢？如果给定英中一项，

5、那我们又如何确定它是第几项呢？这些关于素数的问题是非常深奥的，口此我就不再累述了。定义数列还有两种常用方式。一是给出它的通项。上面的数列(1)(2)(3)(5)(6)的通项分别为Q/7二门,门=1,2,...,an=2n,n=2„.„an=2/7-1,/?=1,2,...,咕门2,77=1,2,…，—•个数列，可以记为｛an｝,而表示o门的公式称为通项公式。除了给出通项外，一个数列也可以通过开始的几项及递推公式来确定，例如定义｛。讣为：这个数列称为斐波那契数列。可以求出斐波那契数列的通项公式为我们接下来就来介绍如何通过递推公式来求通项公式。一、等比差数列递推

6、关系式(注：以下D1.等差数列an=an_}+d(1)%=%+d由(1)(2)式得(2)以此类推©7+Sj)d2.等比数列an=qanA(1)(2)由(1)(2)式得an=q(qan_2)以此类推%=右q3.等比差数列an=qan_}+d我们可以设递推公式为an-x=q(an_}-x)°n~^q=q-'进而得岀an=qn~}代入得誉总q_di—q4.一次广义等比差数列0门_]=“7

7、+广(/7),其中广(门)为门的2次多项式类比上题可设0门_xn-y=q(an_}-x{n-)-y)解出X,)/使得(1_引巾+(防+)/_07)=产(门)代入后，由等比差数列的

8、方法求出an=qn-a}-y)+xn+y其屮，x,y使得(l-q)〃7+(q%+p-qy)=/■(/?)4.多次广义等比差数列=qq+工厶(门)厶"，其中齐(门)为门的q•次多项式/=1我们亦可以类比上面两例，使用待定系数法，再根据实际情况求出所需的通项公式,进而进一步解题。接下来，我们再来看一类利用待定系数法求解通项公式的问题一一特征根法。二、常系数线性递推关系式(注：以下D1.常系数线性2阶齐次递推关系式q?=pan_}+qan_2设存在实数兀兀，使得an-x}an_}=x2(Q—1-x}an_2)•••^=(^1+^2)^-1-^2^-2比较原递推关系

9、on_}=panA+qan可得x}+x