5、。的基本手法是将Q分解为方与一个整数之积.在比较初级的问题中，这种数的分解常通过在一些代数式的分解中取特殊值而产生.下面两个整除分解式在这类论证中应用较多.若n是正整数，贝ljZ-y”=(x-刃(*-+x,,_2)，+•••+xy,,_2+/■*)；若n是正奇数,则xn+y”=(x+y)(;宀小+..._旷+严).⑵最大公约数与最小公倍数最大公约数是数论中的一个重要概念.设b不全为零，同时整除a、方的整数称为它们的公约数.因为a、〃不全为零，故由整除的性质③推知，方的公约数只有有限多个，将其中最大
6、的一个称为b的最大公约数，用符号(°,仍表示.当(«,/;)=1时，即a,方的公约数只有±1,称a与b互素(或互质).对于多于两个的不全为零的整数a,b,…，c,可类似的定义它们的最大公约数(a,b,…，c)・若(a,c)=1,则称a,/?,•••,c互素.但此时并不能推出a,乩…，c两两互素；但反过来,若a,b,…，c两两互素，则显然有c)=1•由定义容易得到最大公约数的一些简单性质:任意改变a、b的符号和先后顺序不改变(a,b)的值,5>1K变品运即有(±af±b)=(bfa)=(a,b)；(
7、a,b)作为/?的函数，以g为周期，即(a,b+a)=(a,b)・―面给出最大公约数的若干性质，它们是解决关于公约问题的基础.①设"是不全为0的整数，则存在整数兀、y,使得ax+by=(a,b).如果［"二无)是满足上式的一*组整数，则x=x^bLl(其中"为任意整数)也是满足上式的整数.这表明，满足上式的X、y有y=y0-au无穷组，并且在"〉0时，可选择x为正(负)数，此时y则相应的为负(正)数.特别的，两个整数〃互素的充分必要条件是存在整数x、y,使得ax^by=,这通常称为a、b适合的
8、裴蜀(Bezout)等式.事实上，条件的必要性是性质①的特例.反过来，若有八)，使等式成立，设(a,b)=d,则did且d
9、b,故dIax及dbyf于是d(ax+by),即d
10、l,从而d=1・②若mafinb,则m(a,b),即a、b任一个公约数都是它们的最大公约数的约数.③若m>09则(ma,mb)=tn(a,b)・④若(a,b)=d,则匸，釣=1・因此，由两个不互素的整数，可自然地产生一对互素的整数.Idd)⑤若(a,m)=1,(b,in)=1,则(ab,m)=1・这表明，与一个固定
11、整数互素的整数构成的集合关于乘法封闭.由此可以推出：若(a,6)=1,则对任意R〉0与((")=1,进而对任意/〉0有(a^)=l.⑥设bac,若(b,c)=1,贝(J方
12、a・⑦设正整数〃之积是一个整数的k次幕伙22)・若(6Z,/7)=1,贝几、都是整数的R次幕.一般地，设正整数a,b,…，c之积是一个整数的R次幕，若a,b,…，c两两互素，则a,b,…，c都是整数的r次幕.下面介绍最小公倍数.设〃是两个非零整数，一个同时为b倍数的数称为它们的一个公倍数.方的公倍数有无穷多个，其中最小的正数
13、称为方的最小公倍数，记作［a.b］,对于多个非零整数a,b,…，c,可类似地定义它们的最小公倍数［Q",c］・⑧a与b的任意公倍数都是［a,b］的倍数.对于多于两个整数的情形，类似的结论也成立.⑨两个整数a、b的最大公约数与最小公倍数满足(a,b)［a,b］=ab.思考：对于多于两个整数的情形，类似的结论不成立，请举出例子.⑩若a,b,…，c两两互素,则有［a,b,…，c］=ab--c・由此以及性质⑧可知若aId,bid,…，cd,且a,b,…，c两两互素，则有ab--c
