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时间:2019-11-17
《2020版高中数学 第四章 导数应用 1.1 导数与函数的单调性学案(含解析)北师大版选修1 -1》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1.1 导数与函数的单调性学习目标 1.了解导数与函数的单调性的关系.2.掌握利用导数判断(证明)函数单调性的方法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间.知识点一 导函数的符号与函数的单调性的关系(1)在区间(a,b)内函数导数的符号与函数单调性有如下关系:导函数的正、负函数的单调性f′(x)>0增加的f′(x)<0减少的f′(x)=0常函数(2)在区间(a,b)内函数的单调性与导数有如下关系:函数的单调性导函数的正、负增加的f′(x)≥0减少的f′(x)≤0常函数f′(x)=0特别提醒:(1)若在某区间上有有限个点使f′(x)=0,在其余的点恒有f′(x)>0,
2、则f(x)仍是增加的(减少的情形完全类似).(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f′(x)≥0且在(a,b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0.知识点二 函数的变化快慢与导函数的关系一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得快,这时,函数的图像就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数的图像就“平缓”一些.1.函数的导数越小,函数值的变化越慢,函数的图像就越“平缓”.( × )2.函数在某一点处的导数越大,函数在该点处的切线越“陡峭”.( × )3.函数在某个区间上变化的越快,函数在这个区间上导数的绝对值越大.(
3、√ )4.若f(x)在区间(a,b)上可导,则“f′(x)>0”是“f(x)在(a,b)上是增加的”的充要条件.( × )5.若f(x)的图像在[a,b]上是一条连续曲线,且f(x)在(a,b)上f′(x)<0,则f(x)在[a,b]上是减少的.( √ )题型一 原函数和导函数图像之间的关系例1 已知函数y=f(x)的图像如图所示,则函数y=f′(x)的图像可能是图中的( )考点 函数变化的快慢与导数的关系题点 根据原函数的图像确定导函数的图像答案 C解析 由函数y=f(x)的图像的增减变化趋势判断函数y=f′(x)的正、负情况如下表:x(-1,b)(b,a)(a,1)f
4、(x)↘↗↘f′(x)-+-由表可知函数y=f′(x)的图像,当x∈(-1,b)时,函数图像在x轴下方;当x∈(b,a)时,函数图像在x轴上方;当x∈(a,1)时,函数图像在x轴下方.故选C.反思感悟 1.对于原函数图像,要看其在哪个区间内是增加的,则在此区间内导数值大于零.在哪个区间内是减少的,则在此区间内导数值小于零.根据导数值的正负可判定导函数图像.2.对于导函数的图像可确定原函数的递增(减)区间及增减快慢.跟踪训练1 函数y=f(x)在定义域内可导,其图像如图所示,记y=f(x)的导函数为y=f′(x),则不等式f′(x)≤0的解集是( )A.∪[2,3)B
5、.∪C.∪[1,2]D.∪∪考点 函数变化的快慢与导数的关系题点 根据原函数图像确定导函数图像答案 A解析 求f′(x)≤0的解集,即求函数f(x)在上的递减区间.由题干图像可知y=f(x)的递减区间为,[2,3).题型二 利用导数求函数的单调区间例2 求下列函数的单调区间.(1)f(x)=2x3+3x2-36x+1;(2)f(x)=3x2-2lnx.考点 利用导数研究函数的单调性题点 不含参数求单调区间解 (1)f′(x)=6x2+6x-36.由f′(x)>0,得6x2+6x-36>0,解得x<-3或x>2;由f′(x)<0,解得-36、,-3),(2,+∞);递减区间是(-3,2).(2)函数的定义域为(0,+∞),f′(x)=6x-=2·.令f′(x)>0,即2·>0,解得x>.令f′(x)<0,即2·<0,解得00和f′(x)<0.(4)定义域内满足f′(x)>0的区间为递增区间,定义域内满足f′(x)<0的区间为递减区间.跟踪训练2 求函数f(x)=的单调区间.考点 利用导数研究函数的单调性题点 不含参数求单调区间解 函数f(x)的定义域为(7、-∞,2)∪(2,+∞).f′(x)==.因为x∈(-∞,2)∪(2,+∞),所以ex>0,(x-2)2>0.由f′(x)>0,得x>3,所以函数f(x)的递增区间为(3,+∞);由f′(x)<0,得x<3.又函数f(x)的定义域为(-∞,2)∪(2,+∞),所以函数f(x)的递减区间为(-∞,2)和(2,3).题型三 含参数函数的单调性例3 若函数f(x)=kx-lnx在区间(1,+∞)上是增加的,则k的取值范围是________.考点 利用函数单调性求变量题点 已知函数单调性求参数答案 [1,+∞)解析 由于f
6、,-3),(2,+∞);递减区间是(-3,2).(2)函数的定义域为(0,+∞),f′(x)=6x-=2·.令f′(x)>0,即2·>0,解得x>.令f′(x)<0,即2·<0,解得00和f′(x)<0.(4)定义域内满足f′(x)>0的区间为递增区间,定义域内满足f′(x)<0的区间为递减区间.跟踪训练2 求函数f(x)=的单调区间.考点 利用导数研究函数的单调性题点 不含参数求单调区间解 函数f(x)的定义域为(
7、-∞,2)∪(2,+∞).f′(x)==.因为x∈(-∞,2)∪(2,+∞),所以ex>0,(x-2)2>0.由f′(x)>0,得x>3,所以函数f(x)的递增区间为(3,+∞);由f′(x)<0,得x<3.又函数f(x)的定义域为(-∞,2)∪(2,+∞),所以函数f(x)的递减区间为(-∞,2)和(2,3).题型三 含参数函数的单调性例3 若函数f(x)=kx-lnx在区间(1,+∞)上是增加的,则k的取值范围是________.考点 利用函数单调性求变量题点 已知函数单调性求参数答案 [1,+∞)解析 由于f
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