2017-2018版高中数学 第四章 导数应用 1.1 导数与函数的单调性学案 北师大版选修1-1

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1、1．1　导数与函数的单调性学习目标　1.理解导数与函数的单调性的关系.2.掌握利用导数判断(证明)函数单调性的方法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间．知识点一　函数的单调性与导函数正负的关系思考　观察下列各图，完成表格内容函数及其图像切线斜率k正负导数正负单调性正[1，＋∞)上单调______R上单调________负(0，＋∞)上单调______(0，＋∞)上单调______(－∞，0)上单调______梳理　一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上(1)如果f′(x)>0，

2、则f(x)在该区间上是增加的．(2)如果f′(x)<0，则f(x)在该区间上是减少的．导数值切线的斜率倾斜角曲线的变化趋势函数的单调性>0____0____角____单调____<0____0____角____单调____知识点二　函数的变化快慢与导数的关系思考　我们知道导数的符号反映函数y＝f(x)的增减情况，怎样反映函数y＝f(x)增减的快慢呢？能否从导数的角度解释变化的快慢呢？11　　　　　　　梳理　一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的

3、图像就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图像就“平缓”一些．类型一　原函数与导函数的关系例1　已知函数y＝f(x)的图像如图所示，则函数y＝f′(x)的图像可能是图中的(　　)反思与感悟　(1)对于原函数图像，要看其在哪个区间内单调递增，则在此区间内导数值大于零．在哪个区间内单调递减，则在此区间内导数值小于零．根据导数值的正负可判定导函数图像．(2)对于导函数的图像可确定原函数的增减区间及增减快慢．跟踪训练1　已知y＝f′(x)的图像如图所示，则y＝f(x)的图像最有可能是如图所示的(　　)

4、11类型二　单调区间的求解及单调性证明命题角度1　求函数的单调区间例2　求f(x)＝3x2－2lnx的单调区间．　　　　反思与感悟　求函数y＝f(x)的单调区间的步骤(1)确定函数y＝f(x)的定义域．(2)求导数y′＝f′(x)．(3)解不等式f′(x)>0，函数在定义域内的解集上为增函数．(4)解不等式f′(x)<0，函数在定义域内的解集上为减函数．跟踪训练2　求函数f(x)＝的单调区间．　　　　命题角度2　证明函数的单调性11例3　证明函数f(x)＝在区间(0,2)上是单调递增函数．　　　　

5、　　　反思与感悟　利用导数证明不等式的一般步骤(1)构造函数：F(x)＝f(x)－g(x)．(2)求导：F′(x)＝f′(x)－g′(x)．(3)判断函数的单调性．(4)若F(x)在区间上的最小值大于等于0，则f(x)≥g(x)；若F(x)在区间上的最大值小于等于0，则f(x)≤g(x)．跟踪训练3　证明：函数f(x)＝在区间上是减少的．　　　　　　11类型三　含参数函数的单调性例4　若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是________．引申探究试求函数f(x

6、)＝kx－lnx的单调区间．反思与感悟　(1)讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为求含参数不等式的解集的问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨论，但始终注意定义域对单调性的影响以及分类讨论的标准．(2)利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路①将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意；②先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x

7、)是否满足题意．(3)恒成立问题的重要思路①m≥f(x)恒成立⇒m≥f(x)max；②m≤f(x)恒成立⇒m≤f(x)min.跟踪训练4　已知函数f(x)＝x2＋2alnx.(1)试讨论函数f(x)的单调区间；(2)若函数g(x)＝＋f(x)在[1,2]上是减函数，求实数a的取值范围．　　　　　1．f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　)A．(－∞，2)B．(0,3)C．(1,4)D．(2，＋∞)112．函数y＝f(x)在定义域(－，3)内可导，其图像如图所示，记y＝f(x)的导函数为y＝

8、f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集是(　　)A．[－，1]∪[2,3)B．[－1，]∪[，]C．(－，)∪[1,2]D．(－，－1)∪[，]∪[，3]3．若函数f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1在(－∞，＋∞)上是增加的，则m的取值范围是(　　)A．m≥B．m>C．m≤D．m<4．若函数y＝f(x)＝a(x3－x)的单调减区间为，则a的取值范围是________．5．已知a>0且a≠1，证明：函数y＝ax－xlna在(－∞，0)上是减少的．　　　　1．导数的符号反映了函数在某个