15当方程不易求解时的三种策略

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1、当方程=o不易求解时地三种策略导数是研究函数地有力工具，其核心又是由导数值地正、负确定函数地单调性•用导数研究函数/(兀)地单调性，往往需要解方程fx)=0.若该方程不易求解时，如何继续解题呢？本文将介绍三种策略解决这种问题.1策略1——猜一一猜出方程f(x)=0地根1例1求函数/(x)=e-¥+-x2-(24-ln2)x地最小值.解可得/(x)=eA+x-(2+ln2).接下來，须求函数/(x)地单调区间，所以须解不等式fx)>0及厂(x)SO,因而须解方程f(x)=0.但此方程不易求解，所以我们可

2、以先猜后解.易知.厂(兀)是增函数，所以方程fx)=0至多有一个实数解，且可观察出此实数解就是ln2,所以函数/(x)在(-oo,In2)?(In2,+-)上分别是减函数、增函数，得/«in=/(In2)=2-2In2-1In22.例2设/(兀)=上也二(1)若函数/(x)在(d,d+l)上有极值，求实数G地取值范围；(2)若关于x地方程/(x)=x2-2x+k有实数解，求实数k地取值范围.解(1)(过程略)所求实数a地収值范围是(0,1).(2)方程f(x)=x2-2x+k即f(x)-x2^2x=k.

3、设g(x)二/(x)-%2+2x,可得所求实数k地取值范围即函数g(x)地值域.得g©)=2(l-Q+芈.接下来，须求函数goo地单调区间，所以须解不等式gx)>o及/(兀)50,因而须解方程/(x)=0.但此方程不易求解，所以我们可以先猜后解：可得/(1)=0,且g©)>0(0vxvl),g©)v0(x>l),所以函数g(兀)在(0,l),(l,+oo)上分别是增函数、减函数，得g⑴唤二g(l)=2.进而可得函数g(x)地值域是2策略2——设一一设出方程f(x)=0地根例3(2012年高考新课标全国卷

4、文科第21题)设函数/(x)=eA"-血-2.⑴求/(无)地单调区间；(2)若a=,k为整数，且当x>0时，(x-灯.厂(兀)+兀+1>0,求£地最大值.解()f(x)=ex-a.当gWO时，f(x)>0恒成立，所以函数/(兀)在(―汽+8)上是增函数；当。>0时，fx)>0<=>x>ln«,所以函数/(兀)在(一8,Inc],[Ina,+8)上分别是减函数、增函数.X+1(2)可得题设即k<+兀(兀>0)恒成立.ex-l令£(兀)=罕｝+兀(兀>0),得gx)=©,一(x>0).e-1(e-1)

5、由⑴地结论知，函数h(x)=cx-x-2(x>0)是增函数.又加1)v0/(2)〉0,所以函数力(劝地唯一零点aw(1,2)(也可把该零点叫做函数加兀)地隐零点，这种设法类似于解析几何中地“设而不求”地解法).当兀W(0,Q)时’g'(X)V0；当兀W(G,+oo)时’g'Q0〉O.所以g(Qrin=g(G).又由g'(a)=0,得e"二&+2,所以&(兀)简=g(a)二Q+1.由qw(1,2),得2

6、取值范围是(-oc,心)，其中心是方程小t>心+1地正数解.例4已知函数f(x)=kex-x2有两个极值点兀],无2(兀1<兀2)・(1)求£地取值范围；(2)求/(X]),f(x2)地取值范围.解(1)得f(x)=kex-2x,所以方程fx)=0即石.2r2设恥)=云，得0(劝=了(1-力进而•町得出函数0(兀)地单调区间，再由此作出函数0任)地图象如图1所示:因为当且仅当x=l时，0(兀)—所以由图1可得k地取值范围是1°'?丿(2)由/'(壬)二总"一2西二0,得keXl=2x,,所以由图1可得西

7、地取值范围是(0,1),进而可得/(西)地取值范围是(0,1).同理可得f(x2)=keX2-x22=2x2-x22=1-(%2-1)2,由图1可得勺地取值范围是(l,+oo)，进而可得/(%)地取值范围是(-汽0).例5(北京市朝阳区2015届高三文科二模第20题)已知函数fx)=asin兀+cosx,其中0.TT(1)当1时,判断/(兀)在区间［0,—］上地单调性；数/地取值范I韦I.八7T解(1)因为小1,x[0,—],所以ff(x)=acosx-sinx?cosxsinx?0.4(2)令/f(

8、x)=0,得acosx=sinx.TT因为在区间[0,才]上cos兀10,所以a=tanx.AATT.因为al(0,1),tan兀I[0,1],且函数y=tanx在[0,—]上单调递增，所以方程TTa=tanx在(0,才)上必有一根,记为兀得/氏兀)=6zcosx0-sinx()=0.71八因为/%工)=Qcosx・sinx在［0,—］上单调递减，所以当xl(O,xo)时，4/血)>/(观)=0；当"(兀，彳)时，/(兀0)=