《小学数学疑难问题研究》

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1、《小学数学疑难问题研究》第一章有关“数与代数”的疑难问题第一节数的认识与大小比较A1—1自然数在现代数学中的定义与在小学数学课本中的说明有什么不同？【自然数】“数”(Shu)起源于数(Shu),—-个、一个地数东西。山此而产生的用来表示物体个数的数就叫自然数。零表示没冇东西可数，零也是一个自然数。“一”是自然数的单位。任何一个自然数都是由若干个“1”组成的。【自然数的产生】自然数概念的产生，经过了漫长的岁刀。首先，产生的是“冇”、“无”的概念。原始人在打州、捕血或采集果实吋，对于州物或果实的有、无是最为关心的。然后，

2、“有”的概念进一步分化为“多”和“少”。为了比较多少而使用一一对应的方法时，必然会遇到“同样多”的物体集合(即等价集合)。等价集合被归入一类，并且从中选出一个大家熟悉的集合来表示这类集合的共同性质。其实质就是用具体的集合形象地表示数冃的多少。例如，用一个人的耳朵的集合作为一类等价集合的代表。逐渐地，这类等价集合被称为“耳”。最后，脱离具体的事物集合，用专门术语表示一类等价集合的共同性质。于是，“耳”就演化为“二”。白然数“二”的概念就这样产生了。(图1—1)图1—1表示自然数的名词，许多都是从常见的实物演变而来的。如

3、藏文“二”冇“翼”的意思，梵文的“五”与波斯语的“手”相近。南美洲有些地方干脆把“五”叫做“手”，“六”叫做“手一”，“七”叫做“手二”等等。这些事实都说明自然数的概念来源于实践。【弗莱格一罗素的自然数定义】1884年，德国数学家、逻辑学家弗莱格(F.L.GFrege1848—1925)在他的著作《算术基础》中，最先给出了自然数的定义。但这个成果当时少为人知。岂至1902年，英国数学家、逻辑学家和哲学家罗素(B.A.W.Russell1872—1970)重新给岀这个定义。在他们作出的被后人称Z为“弗莱格一罗素的自然数

4、定义”中，将每一个自然数定义为“可以建立一一对应的所冇的冇限集组成的集。”能和有限集A建立一一对应的(即和A等价的)所有集纟R成的集称为“集A的基数”。记为％。即A={B

5、B-A]其中，〜表示集的等价关系。为了使口然数的这个定义通俗易懂，有些用于教师教育的《小学数学基础理论》教科书将每一个白然数定义为“可以建立一一对应的一类有限集的共同性质”。以往的人教版小学数学教科书在教学“5的认识”时，首先引导小学生观察画面上的五位解放军、五匹马、五支枪，以及五根小棒、五粒算珠、五颗五角星等不同的物体集合。然后，引导小学生寻求这

6、些物体集合的共同点：“它们都是五个”。“五”就是这些物体集合的共同性质。从而初步形成白然数“五”的概念。可见，小学生对口然数的基数意义的认识，和弗莱格-罗素的口然数定义实质上是一致的。【皮亚诺公理】为了建立口然数的公理化体系，意大利数学家和逻辑学家G皮亚诺（G.Peano1858—1932）在1891年给出了关于B然数的五条公理：①0是一个H然数。②0不是任何其它H然数的继数。③每一个口然数Q都有一个继数。④如果口然数a^jb的继数相等，则°、b也相等。⑤（数学归纳法公理）如果一个由白然数组成的集合S包含0,并且当S

7、包含某一个白然数。时，它一•定也含有Q的继数，那么S就包含全体H然数。皮亚诺的这一公理系统被称之为“皮亚诺公理”，它标店着数学分析算术化运动的终结。参考书[1]《中国大百科全书数学》中国大百科全书出版社1988年11月第1版，P220;321-322;461;510。[2]《中学数学教师手册》上海教育出版社1986年5月第1版，P1-33L[3]《逻辑与小学数学教学》金成梁著，北京师范大学出版社2001年9月第1版，P19—20。A1—2自然数的“基数意义”和“序数意义”有什么不同？【基数】当自然数0,1,2,……用

8、来表示有限集合屮元素的个数时，这样的数叫做“基数”。如“这幢住宅楼是5层楼”这里的“5”就是基数。【序数】当口然数被用来表示爭物的排列次序吋，这样的数就叫做“序数”。如“我住在这幢住宅楼的5楼”，这里的“5”就是序数，表示“第5”的意思。上体育课时排成一列横队“报数”，排头从“1”开始，报到排尾是“35”，那么这个“35”既表示这一队学生共有35人，也表示排尾的学生是第35个。在一个句子里出现的白然数究竟是基数、还是序数，要根据语言环境（即上下文）来判定。A1—3自然数.正整数和整数之间的区别和联系是什么？【正整数】

9、一个、一个地数东西而产生的、用來表示物体个数的数1,2,3,……也叫正整数。当我们数每一棵苹果树上有多少个苹果时，可能遇到一个苹果也没冇的情形。要数的东西一个也没有，就用“0”表示。0与正整数统称H然数。【负整数】为了表示现实世界屮具有相反意义的量，人们引用了正数与负数。如“盈利5元”用“+5元”表示，“亏损5元”就用“一5元”表示。这种在一个