2018-2019学年高中数学 第三章 推理与证明 3 综合法与分析法学案 北师大版选修1 -2

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1、§3　综合法与分析法学习目标　1.理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点.2.会用综合法、分析法解决问题．知识点一　综合法思考　阅读下列证明过程，总结此证明方法有何特点？已知a，b>0，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.证明：因为b2＋c2≥2bc，a>0，所以a(b2＋c2)≥2abc.又因为c2＋a2≥2ac，b>0，所以b(c2＋a2)≥2abc.因此a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.答案　利用已知条件a>0，b>0和重要不等式，最后推导出所要证明的结论．梳理　综合法的定义及特点(1

2、)定义：从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，我们把这样的思维方法称为综合法．(2)思路：综合法的基本思路是“由因导果”．(3)模式：综合法可以用以下的框图表示→→→…→其中P为条件，Q为结论．知识点二　分析法思考　阅读证明基本不等式的过程，试分析证明过程有何特点？已知a，b>0，求证：≥.证明：要证≥，只需证a＋b≥2，只需证a＋b－2≥0，只需证(－)2≥0，因为(－)2≥0显然成立，所以原不等式成立．答案　从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的充分条件，

3、最终把要证明的结论变成一个明显成立的条件．梳理　分析法的定义及特征(1)定义：从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等．我们把这样的思维方法称为分析法．(2)思路：分析法的基本思路是“执果索因”．(3)模式：若用Q表示要证明的结论，则分析法可以用如下的框图来表示：→→→…→1．综合法是执果索因的逆推证法．(　×　)2．分析法就是从结论推向已知．(　×　)3．分析法与综合法证明同一问题时，一般思路恰好相反，过程相逆．(　√　)类型一　用综合法证明不等式例1　已知

4、a，b，c∈R，且它们互不相等，求证：a4＋b4＋c4＞a2b2＋b2c2＋c2a2.考点　综合法及应用题点　利用综合法解决不等式问题证明　∵a4＋b4≥2a2b2，b4＋c4≥2b2c2，a4＋c4≥2a2c2，∴2(a4＋b4＋c4)≥2(a2b2＋b2c2＋c2a2)，即a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.又∵a，b，c互不相等，∴a4＋b4＋c4＞a2b2＋b2c2＋c2a2.反思与感悟　综合法证明问题的步骤：跟踪训练1　已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：＋＋>3.考点　综合法及应用题点　利用综合法解决不等式

5、问题证明　因为＋＋＝＋＋＋＋＋－3，又a，b，c为不全相等的正实数，而＋≥2，＋≥2，＋≥2，且上述三式等号不能同时成立，所以＋＋＋＋＋－3>6－3＝3，即＋＋>3.类型二　分析法的应用例2　设a，b为实数，求证：≥(a＋b)．考点　分析法及应用题点　分析法解决不等式问题证明　当a＋b≤0时，∵≥0，∴≥(a＋b)成立．当a＋b>0时，用分析法证明如下：要证≥(a＋b)，只需证()2≥2，即证a2＋b2≥(a2＋b2＋2ab)，即证a2＋b2≥2ab.∵a2＋b2≥2ab对一切实数恒成立，∴≥(a＋b)成立．综上所述，不等式得证．反思

6、与感悟　分析法格式与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件、已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等)．这种证明的方法关键在于需保证分析过程的每一步都是可以逆推的．它的常见书写表达式是“要证……只需……”或“⇐”．跟踪训练2　设a>b>0，求证：＋>(－)．考点　分析法及应用题点　分析法解决不等式问题证明　因为a>b>0，所以a2>ab>b2，所以a2－ab>0.要证＋>(－)，只需证>，只需证－<＋.又<＋＋显然成立，所以＋>(－)成立．类型三　分析法与综合法的综合应用例3　△

7、ABC的三个内角A，B，C成等差数列，其对边分别为a，b，c.求证：(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.考点　分析法和综合法的综合应用题点　分析法和综合法的综合应用证明　要证(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1，即证＋＝，即证＋＝3，即证＋＝1.即证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，即证c2＋a2＝ac＋b2.因为△ABC三个内角A，B，C成等差数列，所以B＝60°.由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2cacos60°，即b2＝c2＋a2－ac.所以c2＋a2＝ac＋b2成立，命题得证．

8、引申探究　本例改为求证>.证明　要证>，只需证a＋b＋(a＋b)c>(1＋a＋b)c，即证a＋b>c.而a＋b>c显然成立，所以>.反思与感悟　综合法由因导果，分析法执果索因，因此在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起