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《2020版高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2.3 直线与平面的夹角 3.2.4 二面角及其度量学案（含解析）新人教B版选修2-1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、3.2.4 二面角及其度量学习目标 1.理解斜线和平面所成的角的定义，体会夹角定义的唯一性、合理性.2.会求直线与平面的夹角θ.3.掌握二面角的概念，二面角的平面角的定义，会找一些简单图形中的二面角的平面角.4.掌握求二面角的基本方法、步骤．知识点一 直线与平面所成的角1．直线与平面所成的角2．最小角定理知识点二 二面角及理解1．二面角的概念(1)二面角的定义：平面内的一条直线把平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．如图所示，其中，直线l叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面，如图中的α
2、，β.(2)二面角的记法：棱为l，两个面分别为α，β的二面角，记作α—l—β.如图，A∈α，B∈β，二面角也可以记作A—l—B，也可记作2∠l.(3)二面角的平面角：在二面角α—l—β的棱上任取一点O，在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB叫做二面角α—l—β的平面角，如图所示．由等角定理知，这个平面角与点O在l上的位置无关．(4)直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角．(5)二面角的范围是[0°，180°]．2．用向量夹角来确定二面角性质及其度量的方法(1)如图，分别在二面角α—l—β的面α，β内，并沿α，β延伸的方向，作向
3、量n1⊥l，n2⊥l，则〈n1，n2〉等于该二面角的平面角．(2)如图，设m1⊥α，m2⊥β，则角〈m1，m2〉与该二面角大小相等或互补．1．直线与平面所成的角α与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角β互余．( × )2．二面角的大小范围是.( × )3．二面角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角的大小．( × )题型一 求直线与平面的夹角例1 已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，求AC1与侧面ABB1A1所成的角．解 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(0，a,0)，A1(0,0，a)，C1，
4、方法一 取A1B1的中点M，则M，连接AM，MC1，则＝，＝(0，a,0)，＝(0,0，a)．∴·＝0，·＝0，∴⊥，⊥，则MC1⊥AB，MC1⊥AA1.又AB∩AA1＝A，∴MC1⊥平面ABB1A1.∴∠C1AM是AC1与侧面ABB1A1所成的角．由于＝，＝，∴·＝0＋＋2a2＝，
5、
6、＝＝a，
7、
8、＝＝a，∴cos〈，〉＝＝.∵〈，〉∈[0°，180°]，∴〈，〉＝30°，又直线与平面所成的角在[0°，90°]范围内，∴AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°.方法二 ＝(0，a,0)，＝(0,0，a)，＝.设侧面ABB1A1的法向量为n＝(λ
9、，y，z)，∴n·＝0且n·＝0.∴ay＝0且az＝0.∴y＝z＝0.故n＝(λ，0,0)．∴cos〈，n〉＝＝－，∴
10、cos〈，n〉
11、＝.又直线与平面所成的角在[0°，90°]范围内，∴AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°.反思感悟 用向量法求线面角的一般步骤是先利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系，再用向量的有关知识求解线面角．方法二给出了用向量法求线面角的常用方法，即先求平面法向量与斜线夹角，再进行换算．跟踪训练1 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB
12、＝2BC，M，N分别为PC，PB的中点，求BD与平面ADMN所成的角θ.解 如图所示，建立空间直角坐标系Axyz，设BC＝1，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)则N(1,0,1)，∴＝(－2,2,0)，＝(0,2,0)，＝(1,0,1)，设平面ADMN的法向量为n＝(x，y，z)，则由得取x＝1，则z＝－1，∴n＝(1,0，－1)，∵cos〈，n〉＝＝＝－，∴sinθ＝
13、cos〈，n〉
14、＝.又0°≤θ≤90°，∴θ＝30°.题型二 求二面角例2 在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平
15、面ABCD，且PA＝AB，E是PD的中点，求平面EAC与平面ABCD的夹角．解 方法一 如图，以A为原点，分别以AC，AB，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz.设PA＝AB＝a，AC＝b，连接BD与AC，交于点O，取AD中点F，连接EF，EO，FO，则C(b,0,0)，B(0，a,0)．∵＝，∴D(b，－a,0)，P(0,0，a)，∴E，O，＝，＝(b,0,0)．∵·＝0，∴⊥，＝＝，·＝0.∴⊥.∴∠EOF等于平面EAC与平面ABCD的夹角．cos〈，〉＝＝.∴平面EAC与平面ABCD的夹角为45°.方法二 建系如方法一
16、，∵PA⊥平面ABCD，∴＝(0,0，a)为平面ABCD的法向量，＝，＝(b,0,0)．设平面AEC的法向量为m＝(x，y，z)．由得∴x＝0，y＝z
