2020版高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 曲线与方程的概念学案（含解析）新人教B版选修2-1

《2020版高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 曲线与方程的概念学案（含解析）新人教B版选修2-1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、2.1.1　曲线与方程的概念学习目标　1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.2.初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.3.学会根据已有的情境资料找规律，学会分析、判断曲线与方程的关系，强化“形”与“数”的统一以及相互转化的思想方法．知识点　曲线与方程的概念一般地，一条曲线可以看成动点依某种条件运动的轨迹，所以曲线的方程又常称为满足某种条件的点的轨迹方程．一个二元方程总可以通过移项写成F(x，y)＝0的形式，其中F(x，y)是关于x，y的解析式．在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程

2、F(x，y)＝0之间具有如下关系：①曲线C上点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解；②以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上．那么，方程F(x，y)＝0叫做曲线的方程；曲线C叫做方程的曲线．特别提醒：(1)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，是从不同角度出发的两种说法．曲线C的点集和方程F(x，y)＝0的解集之间是一一对应的关系，曲线的性质可以反映在它的方程上，方程的性质又可以反映在曲线上．定义中的条件①说明曲线上的所有点都适合这个方程；条件②说明适合方程的点都在曲线上而毫无遗漏．(2

3、)曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系，通过曲线上的点与实数对(x，y)建立了一一对应关系，使方程成为曲线的代数表示，通过研究方程的性质可间接地研究曲线的性质．如果曲线l上的点的坐标满足方程F(x，y)＝0，则1．曲线l的方程是F(x，y)＝0.(　×　)2．方程F(x，y)＝0的曲线是l.(　×　)3．坐标不满足方程F(x，y)＝0的点不在曲线l上．(　√　)4．坐标满足方程F(x，y)＝0的点在曲线l上．(　×　)题型一　曲线与方程的概念理解与应用命题角度1　曲线与方程的判定例1　已知坐标满足

4、方程F(x，y)＝0的点都在曲线C上，那么(　　)A．曲线C上的点的坐标都适合F(x，y)＝0B．凡坐标不适合F(x，y)＝0的点都不在曲线C上C．不在曲线C上的点的坐标必不适合F(x，y)＝0D．不在曲线C上的点的坐标有些适合F(x，y)＝0，有些不适合F(x，y)＝0答案　C解析　“不在曲线C上的点的坐标必不适合F(x，y)＝0”是“坐标满足方程F(x，y)＝0的点都在曲线C上”的逆否命题．所以C正确．反思感悟　解决“曲线”与“方程”的判定问题(即判定方程是不是曲线的方程或判定曲线是不是方程的

5、曲线)，只要一一检验定义中的两个条件是否都满足，并作出相应的回答即可．判断点是否在曲线上，就是判断点的坐标是否适合曲线的方程．跟踪训练1　设方程F(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程F(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，那么下列命题正确的是(　　)A．坐标满足方程F(x，y)＝0的点都不在曲线C上B．曲线C上的点的坐标都不满足方程F(x，y)＝0C．坐标满足方程F(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上D．一定有不在曲线C上的点，其坐标满足方程F(x，y)＝0答案　D

6、解析　“坐标满足方程F(x，y)＝0的点都在曲线C上”不正确，即“坐标满足方程F(x，y)＝0的点不都在曲线C上”是正确的．“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故A，C错，B显然错．命题角度2　曲线与方程的概念应用例2　证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹方程是xy＝±k.证明　①如图，设M(x0，y0)是轨迹上的任意一点．因为点M与x轴的距离为

7、y0

8、，与y轴的距离为

9、x0

10、，所以

11、x0

12、·

13、y0

14、＝k，即(x0，y0)是方程xy＝±k的解．②设点M1的坐标

15、(x1，y1)是方程xy＝±k的解，则x1y1＝±k，即

16、x1

17、·

18、y1

19、＝k.而

20、x1

21、，

22、y1

23、正是点M1到纵轴、横轴的距离，因此点M1到这两条直线的距离的积是常数k，点M1是曲线上的点．由①②可知，xy＝±k是与两条坐标轴的距离的积为常数k(k>0)的点的轨迹方程．反思感悟　解决此类问题要从两方面入手(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”，称为纯粹性；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程

24、的曲线，方程是曲线的方程．跟踪训练2　写出方程(x＋y－1)＝0表示的曲线．解　由方程(x＋y－1)＝0可得或＝0.即x＋y－1＝0(x≥1)或x＝1，∴方程表示直线x＝1和射线x＋y－1＝0(x≥1)．题型二　曲线与方程关系的应用例3　已知方程x2＋(y－1)2＝10.(1)判断点P(1，－2)，Q(，3)是否在此方程表示的曲线上；(2)若点M在此方程表示的曲线上，求m的值．解　(1)∵12＋(－2－1)2＝10，()2＋(3－1)2＝6≠10，∴P(1，－2)在方程x2＋(y－