江苏专用2019高考数学二轮复习专题七应用题第22讲三角函数应用题冲刺提分作业

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1、第22讲　三角函数应用题1.(2018苏州学业阳光指标调研)如图,B,C分别是海岸线上的两个城市,两城市间由笔直的海滨公路相连,B,C之间的距离为100km,海岛A在城市B的正东方50km处.从海岛A到城市C,先乘船按北偏西θ角α<θ≤π2,其中锐角α的正切值为12航行到海滨公路P处登陆,再换乘汽车到城市C.已知船速为25km/h,车速为75km/h.(1)试建立由A经P到C所用时间与θ的函数解析式;(2)试确定使所用时间最少的登陆点P的位置,并说明理由.2.如图,有一椭圆形花坛,O是其中心,AB是椭圆的长轴,C是短

2、轴的一个端点.现欲铺设灌溉管道,拟在AB上选两点E,F,使OE=OF,沿CE、CF、FA铺设管道,设∠BFC=θ,若OA=20m,OC=10m,(1)求管道长度u关于角θ的函数;(2)求管道长度u的最大值.3.(2018徐州铜山高三年级第三次模拟)某三甲医院开展用直升飞机接送危重病人业务,为了保证直升飞机降落准确、安全地降落,在门诊楼AB和综合楼CD的楼上安装导航标志,已知两楼的地面距离AC=50m,在A,C之间取一导航标志观测点P,当点P在AC中点时,测得两楼顶导航标志的张角∠BPD=45°,若∠ACB=45°.(

3、1)求两导航标记距离地面的高度AB、CD;(2)要使在点P处看两楼顶导航标志的张角∠BPD最大,点P应在何处?答案精解精析1.解析　(1)由题意,船航行的方位角为θ,所以∠BAP=90°-θ,AB=50km,则AP=50cos(90°-θ)=50sinθkm,BP=50tan(90°-θ)=50sin(90°-θ)cos(90°-θ)=50cosθsinθkm,∴PC=100-BP=100-50cosθsinθkm,由A到P所用的时间为t1=AP25=2sinθ,由P到C所用的时间为t2=100-50cosθsinθ

4、75=43-2cosθ3sinθ,所以由A经P到C所用时间与θ的函数关系为f(θ)=t1+t2=2sinθ+43-2cosθ3sinθ=6-2cosθ3sinθ+43,函数f(θ)的定义域为α,π2,其中锐角α的正切值为12,(2)由(1),f'(θ)=6-18cosθ9sin2θ,令f'(θ)=0,解得cosθ=13,设θ0∈0,π2,其中cosθ0=13,列表如下:θ(α,θ0)θ0θ0,π2f'(θ)-0+f(θ)减函数极小值增函数所以,当θ=θ0时,函数f(θ)取得最小值,此时BP=50cosθ0sinθ0=

5、2522≈17.68km.答:在BC上选择距离B点17.68km处为登陆点,所用时间最少.2.解析　(1)因为CF=10sinθ,OF=10tanθ,AF=20-10tanθ,由OE=OF,知,CE=CF,所以u(θ)=CE+CF+AF=20sinθ+20-10tanθ=20+20-10cosθsinθ,其中00,函数u(θ)为增函数

6、,当12

7、,于是tan(∠APB+∠DPC)=tan∠APB+tan∠DPC1-tan∠APB·tan∠DPC=2+CD251-2·CD25=-1,解得CD=75m.(2)设AP=xm,则PC=(50-x)m,在Rt△APB中,tan∠APB=ABAP=50x,在Rt△CPD中,tan∠DPC=CDPC=7550-x,于是tan∠BPD=tan(180°-∠APB-∠DPC)=-tan(∠APB+∠DPC)=-tan∠APB+tan∠DPC1-tan∠APB·tan∠DPC=-50x+7550-x1-50x·7550-x=25

8、(x+100)x2-50x+50×75,设100+x=t,则tan∠BPD=f(t)=25tt2-250t+252×30,f(t)=25t+252×30t-250≤252t·252×30t-250=1230-10,当且仅当t=252×30t不等式取等号,于是当t=2530时,函数f(t)取最大值,此时100+x=2530,x=2530-100,