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1、浅谈数学解题中的“化归”黄州区赤壁中学杨三元所谓“化归”，从字面上看，可理解为转化和归结的意思.化归方法是将待解决或未解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类己经能解决或者比较容易解决的问题中去，最终获得原问题解答的一种手段和方法，可以说，解决一个数学问题其实质就是如何化归.化归是解数学题的一种重要思维方法，加强这方面的训练，冇利于培养学生思维的灵活性，提高学住的解题速度和数学能力.本文结合例题來说明儿种常见的数学化归途径，以起到抛砖引土的作用.一、抽象问题与具体问题化归由于中学生的形彖思维比较成熟，而抽象思维能力较差，因此解题
2、吋，对丁抽象问题的思考往往比较闲难.如果我们能把一些抽象问题化归为貝体问题考虑，那么问题就容易解决得多了.例1：已知等差数列仏｝的公差dHO,且4、角、他成等比数列,则坷+偽+為的a2+a4+dm值是•学生思维：由于给出的数列是一个抽彖数列，I大I此有些学生无从着手.有些学生从已知条件得居=叶。9=>G+2d)2=M+8〃)，解得a.d的关系后，代入所求式子：ax+a3+ag_q+(q+2d)+(q+8d)+%+a】。(d]+d)+(6i]+3d)+(a】+9d)虽然也能求解，但计算较繁，易错，所花时间长.化归引导:由题意知,只
3、要满足也、偽、购成等比数例的条件，｛色｝取何种等差数列与所求代数式的值是没冇关系的.因此，町把抽彖数列化归为具体数列•比如，可选取数列则也++毁a2+a4+al()1+3+9132+4+10一忆例2：已知匕｝是公差不为零的等差数列,如果Sn是｛%｝的前n项的和，那么仁咕等于•学生思维：同上例一样，不会把抽象问题化归为具体问题的学生，只能死套公式，将等差数列的通项公式色二®+S-l)d和前n项和的公式S“二M+巾_5,代入所求极2限式，约简后，再求解.这样，花费时间较多，如果公式记错，或计算有误，更会导致错解.化归引导：只要取％=
4、ngN),则dHO,符合题设，・••仁21ST一呻一2.二、复杂问题与简单问题化归有的数学问题着上去比较复杂，尤其是竞赛题.如果我们善于对问题的形式的特征进行观察，提炼其特征，把复杂问题化归为简单问题，从而使问题得以解决.例3：函数/(x)=>/x4-3x2-6x+13—J/—/+1的最大值是.学生思维：配方，/(x)=yl(x-3)2+(x2-2)2-7-X2+(X2-1)2然后就束手无策了.关键是对函数的几何意义不清楚，无法化归.化归引导：配方后知，函数的几何意义是在抛物线y=x2上的点P(x,x2)分别到点A(3,2)和点
5、B(0,1)的距离之差，因点A在抛物线下方，点B在抛物线上方，故宜线AB与抛物线相交.交点由［丁_1_2_1X决定，消去y,得3x2-x-1=0,由于该方程常数项为负，故必冇负根.因三角形两边Z差小于笫三边，故当点P位于负根所对应交点C时，/(X)有最大值lABhVlO.例4：设AB为过椭圆—+^-=1中心的弦，R为左焦点，2516求AABF］的面积的最人值.—22学生思维：设AB的方程为y=kx,与椭圆方程—+^-=1联立求出IABI,乂求出点F
6、到AB的距离d,再建立AABF］的面积函数求最大值，这样解也行，但计算量较大，容
7、易出错.化归引导：考虑到对称性，取右焦点F2,连结AF?、BF2,则四边形AFiBF?为平行四边形，AABF］和厶AF
8、F2的面积均为AF
9、BF2的面积的一半，所以命题化归为求△AF)F2的面积的最大值，又IF
10、F2I=6,命题又化归为求I儿I的最大值，而11儿1呗=4,至此知斤的最大值为12.三、一般问题与特殊问题化归数学题目冇的具冇一般性，冇的具冇特殊性，这就盂要我从冇时把一般问题化归为特殊问题，有时把特殊问题化归为一•般问题.其解题模式是：首先设法使问题特殊(或一般)化降低难度，然后，解这个特殊(或一般)性的问题，从中获得
11、信息，再运用类此使原问题获解.例5：计算V2005x2006x2007x2008+1-20062学生思维：有的学生可能认为计算量太人，望而却步.有的学生可能按照顺序算.显然,死算不可収.化归引导：观察数字特征，可将数字一般化后，寻找化归途径，令42006,则原式=J(d-l)a(d+l)(d+2)+1-a2=(q2+q—])—/=a—1故原式=2005.注：若在一燉式中，a取不同的数值，就可得到一系列实质相同的计算题.例6：求(、/7+2尸⑷的展开式中x的整数次幕的各项系数Z和.2/i+l-r学生思维：有的学生可能用二项式展开式
12、通项公式得Tr+i=2rC^x厂，再根据x的指数为整数时，求其系数，最后求和.这样太繁琐了，也易出错.化归引导:・・・(77+2)2*=c爲(仮戶小+C爲(依)2〃.2+C；+】(依)2心①+…十c腐2如,又(依-2严=U+M严_c；”+M)2”・2+兔価严«2
