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1、浅谈数学解题中的“化归”黄州区赤壁中学杨三元所谓“化归”，从字面上看，町理解为转化和归结的意思.化归方法是将待解决或未解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类己经能解决或者比较容易解决的问题中去，最终获得原问题解答的一种手段和方法，可以说，解决一个数学问题其实质就是如何化归.化归是解数学题的一种重要思维方法，加强这方面的训练，冇利于培养学生思维的灵活性，提高学牛的解题速度和数学能力.本文结合例题來说明几种常见的数学化归途径，以起到抛砖引玉的作用.一、抽象问题与具体问题化归由于屮学生的形象思维比较成熟，而抽象思维能力较差，因此解题时，对于抽象问题的思考往往比较困难.如果我们能把一些抽象问题
2、化归为具体问题考虑，那么问题就容易解决得多了.例I:已知等差数列⑷的公差吗、©成等比数列，则霁盘的值是.学生思维：rh于给出的数列是一个抽彖数列，因此有些学牛无从着手.有些学牛从已知条件得能=”。9=>(d
3、+2d)2=g+8d),解得a、d的关系后，代入所求式了：«!+a3+a9_a】+(%+2d)+(q+8d)°2++同0(。1+d)+(a】+3d)+(a】+9d)虽然也能求解，但计算较繁，易错，所花时间长・化归引导：由题意知,只要满足坷、偽、成等比数例的条件，｛色｝取何种等差数列与所求代数式的值是没冇关系的.因此，可把抽象数列化归为具体数列•比如，可选取数列则—2—a2+a4+aw
4、例2：已知｛%｝是公差不为零的等差数列,如果Sn是｛%｝的前n项的和,那么仁咕等于•学生思维：同上例一样，不会把抽象问题化归为具体问题的学生，只能死套公式，将等差数列的通项公式二吗+S—1)〃和前n项和的公式S/2=na｝+班罗〃,代入所求极限式，约简后，再求解.这样，花费时I'可较多，如果公式记错，或计算有误，更会导致错解./.nan_/；mn.n_o化归引导：只要取％二ngN、，则dHO,符介题设，・••仁21S7=仁吧呻=2.二、复杂问题与简单问题化归有的数学问题着上去比较复杂，尤其是竟赛题.如杲我们善于对问题的形式的特征进行观察，提炼其特征，把复杂问题化归为简单问题，从而使问题得
5、以解决.例3：函数/U)=V/-3%2-6^+13-J?-/+1的最大值是学生思维：配方，.f(x)=Ju-3)2+(兀2一2)2一J兀2+(兀2一])2然后就束手无策了.关键是对函数的几何意义不清楚，无法化归.化归引导：配方后知，函数的几何意义是在抛物线y二/上的点P(x,x2)分别到点A(3,2)和点B(0,1)的距离之差，因点y=x1A在抛物线下方，点B在抛物线上方，故直线AB与抛物线相交.交点由y_i2-1决立，消去y,得3x2-x-1=0,由于该方程常数项为负，故必有负根.因三角形两边之差小于第三边，故当点P位于负根所对应交点C时，/(兀)有最人值IABI二価.例4：设AB为
6、过椭lw
7、—+=1屮心的弦，Fi为左焦点，2516求ZABF
8、的面积的最大值.—22学生思维：设AB的方程为y=kx,与椭圆方程—+^-=1联立求JIIIABI,又求出点Fi到AB的距离d,再建立AABFi的面积函数求最大值，这样解也行，但计算量较大，容易出错.化归引导：考虑到对称性,取右焦点F2,连结AF2、BF2,则四边形AF]BF2为平行四边形，AABF.和厶AFjF2的而积均为AF1BF2的而积的一半，所以命题化归为求AAFiF?的面积的最大值，又IF]F2I=6,命题又化归为求1)(的最大值，而lly4lmax=4,至此知Sa的的最大值为12.三、一般问题与特殊问题化归数学题
9、目有的具有一般性，有的具有特殊性，这就需要我从有时把一般问题化归为特殊问题，有时把特殊问题化归为一般问题.其解题模式是：首先设法使问题特殊(或一般)化降低难度，然后，解这个特殊(或一般)性的问题，从中获得信息，再运用类此使原问题获解.例5：计算V2005x2006x2007x2008+1-20062学生思维：有的学生可能认为计算量太人，望而却步.有的学生可能按照顺序算.显然,死算不可取.化归引导：观察数字特征，可将数字一般化后，寻找化归途径，令a=2006,则原式=J(a-l)a(d+l)(c+2)+1—ci~故原式=2005.注：若在一般式中，a取不同的数值，就可得到一系列实质相同的计
10、算题.例6：求（頁+2）2w+1的展开式中x的整数次幕的各项系数Z和.学生思维：有的学生可能用二项式展开式通项公式得Tr+}=2rCit+lx~^~，再根据兀的指数为整数时，求其系数，最厉求和.这样太繁琐了，也易出错.化归引导:・・・（依+2）如=C爲（坂严+C；曲（77）2”•2+C；沖（依严・y+…+C^22n+i,乂（依-2严=&冲（依严-C爲（依）2”・2+C；+
11、（VI）Z・22+…-22/,+1,①一②得x的整数次幕的各
