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1、AAAI7^“矩阵论”课程研究报告科目：矩阵理论及其应用教师:姓名：学号：专业：机械设计类别：上课时间:2013年9月至2013年12月考生成绩：阅卷评语:阅卷教师（签名）坐标变换在摆线针轮行星传动啮合方程中的应用摘要：摆线针轮行星传动具有传动比大、结构紧凑、承载能力大和传动效率高等突出的优点，广泛应用于机械、矿山、冶金、化工、纺织、国防工业等领域。近年來在精密传动领域中受到了广泛关注。木报告根据齿轮啮合原理、由
2、员I柱针齿及给定的运动，运用矩阵论中的与坐标变换相关的知识，建立行星轮共轨啮合齿廓的通用方程。从而表示标准摆线针轮行星传动的啮合方
3、程式。一、问题描述如图1所示。件1为针轮，件2为行星轮。在针轮和行星轮的中心分别建立于Z相固连的动坐标系0沁』以及0卫2儿，在针轮中心建立整体固定坐标系OXY。在初始位置，X轴与X］轴重合，兀2轴与X轴平行。针齿中心分布I员I半径为针齿的半径为厶。针轮与行星轮的齿数分别为勺和和，两轮中心距，即输入转臂轴承的偏心距为-为了简化问题的讨论，采用转臂（曲柄）固定法。将行星轮绕®轴逆时针旋转Q角，根据相对运动关系，针轮也将随行星轮绕石轴逆时针旋转仇角。求出行星轮的齿廓方程。二、方法简述问题中要求出行星轮，即摆线轮的齿廓方程。换而言之要求出短幅外摆线的
4、曲线。一般以内摆法形成短幅摆线；而短幅摆线和针齿满足齿廓啮合定律以及连续传动条件。与渐开线等齿轮共轨啮合传动的理论大致相同。在该问题中，可以用方程式表达出针齿齿廓的方程，再根据针齿齿廓与行星轮齿廓共轨的条件，最后求出行星轮齿廓方程，即与针齿相啮合的曲线方程。在通过针齿齿廓求解出行星轮齿廓的过程屮，由于针轮与行星轮存在偏心距,即两者所处的坐标不同，这样会导致啮合过程屮，不能根据齿轮啮合原理直接变换。在此，运用矩阵理论相关知识，完成坐标系Z间的传换过程。涉及到的矩阵知识冇：坐标变换公式以及坐标的基本变换。坐标变换公式设aeV,a在基”],俐，…％
5、之下的坐标为(鼻徐…盒)，在基©，忆，…久Z下的坐标为(£,£,・・•£),即采用矩阵形式写法，便有由于Q在基0,俐，…匕Z下的坐标是唯一的，因此有££££••■=c•■•或者••■=c~}■■■c三、实验数据和结果1)啮合方程针齿齿廓在坐标0/』中的方程为工⑴=Xjij+y]j]=r.cos0i}+(r.sin&4-/?.)j}(1)式中：&为角参量。根据齿轮啮合原理的运动学方法，啮合方程为0(0,%)=®•计⑵=o(2)其中，®为针齿啮合点处的法线矢量，在坐标轴兀]和))山的投影为nx}=dy}/d0=r_cos0,ny]=-dx}fd6
6、=r_sin。,计⑵为啮合点处针齿与行星轮的相对运动速度矢量，计⑵=片⑴-片⑵=(w⑴-W[⑵)x为⑴+w⑵xe式中片⑴=w⑴x工⑴,计2)=⑵xZ⑴+axw⑵,⑷⑴=w}k},w$)=w⑵=w2k2。以上齐式中A，j、,心分别为坐标轴兀],)),$的单位矢量。将相关的表达式带人(2)式，计算化简后得到啮合函数0(&同)=2cos(0+仇)-cos&=0(3)其中兄为系数，且2=吧/[人佩T)]2)行星轮的齿廓方程工⑵在坐标系畑中，与针齿齿廓工⑴相共轨的行星轮齿廓为⑵由卜式确实:i21(5)I飒&同)"式中M21=M2OM()1,为从Ohx[
7、bylh到0”2』2“的坐标变化矩阵。由OMh到OXY的变换矩阵为(6)cos0h-sin0hM()]=sin0hcos%00一幺sin一ecos0a(7)由OXY到Oyx2ay2a的坐标矩阵为cos0asin6a=_sinQcos0a令ea-oh=(ph,由％=可得&“二Zb©/(Zb—zJ,%=Zg©/(z〃一zJ于是cos%IM2}=-sin%0(8)sin©-€血乞％/匕一〈)cos©-ec^zh(ph/(zh-zs)01根据三角函数公式解啮合函数(3),有sin0=±(Qcos仇-1)/J1+才-2/lcos$(9)cos0-±2
8、sin0h/Jl+才-2/icos$将(1),(8),(9)式带人(5)式得到行星轮的齿廓方程工⑵的一般表达式兀2=人sin%—£sin[zb%/(&■y2=R:cos(ph-ecos(10)(^-zj]+rcos/?日％心一5)]-°sin0其中诃心一s)]cos0=±{2sin[zh(ph/(Zb—zj]—sin%}/Jl+才_22cosp^/匕_zJ]sin0=±{—2cos[zb©/(聋—zJ]+cos©}/Jl+22-22cos其中，行星轮齿廓的方程式为式（10）的表达式。结果分析和说明根据过程三中得出的结杲，针齿齿廓的表达式为式（
9、1）中的工⑴，该方程的表达式是在坐标系Ohx｝y｝的表达式；而与Z相啮合的摆线轮的表达式为式（10）中的力⑵，该方程的表达式则是在坐标系0/2訝2。的表达式。由此可
