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1、授课吋间2006.1017第10次课授课章节第十七章第-「节笫’节任课教师及职称姜子文、教授教学方法与手段讲授课时安排3使用教材和主要参考书华东师范大学主编《数学分析(上、下册)》(第三版)，高等教育出版社2001年版吴良森等编著《数学分析学习指导书》(上、下册)，高等教育出版社2004年版马顺业编著《数学分析研究》，山东大学出版社1996年版刘玉琏等编著《数学分析讲义》(第三版)(上、下册)，高等教育出版社1982年版教学目的与要求：(1)理解一阶全微分形式不变性(2)掌握方向导数与梯度的定义(3)掌握方向导数与梯度的计算教学重点，难点：重点：方向导数与梯度的定义
2、难点：一阶全微分形式不变性，方向导数的定义教学内容：一阶微分形式不变性一阶微分冇个很重要性质——形式不变性。在多元函数中也有类似的性质。设z=f(x,y)是二元可微函数，如果是白变量，贝hdz=[dx+=dy.(dx,dy各占独立数值)(1)oxdy如果兀,y不是自变量而是中间变量,x=x(u,v),y=y(u,v),又设都可微,并且f,x,y可以构成复合函数，那么：.,dz»az=—duHdvdudvdxdz彷）+严dx^dzcydsndydudxdvdydv竺du+竺如+乞（空d〃+空如dudvdydudv（dx,dy如上,由u,v,du,dv决定）。由（1）,
3、（2）的dz可知一•阶微分形式的不变性。注：（1）两阶微分没冇这一性质，如下例例1设z=y,x=u^v,y=u+v.z=irv+u+v.则d—牢肿+2刘d2u82z29dudv+—7dv=2vdir+4ududvdudvdv2如果二阶微分有形式不变性，则有:dxdydxdy+但竽=亘+竽=o,从而廿=0d2xdxdydy2（2）利用一阶微分形式不变性求偏导数例2设z二严sin（兀+y）,利用微分形式不变性求次，并求出—.dxdy§3方向导数与梯度一方向导数：（一）、方向导数的定义：定义设三元甫数/在点人）（兀0，儿,勺）的某邻域U（C））u/?‘内有定义./为从点耳
4、出发的射线.尸（兀』找）为/上且含于U（化）内的任一点,以。表示p与佗两点间的距离・若极限limW）一皿）=limMQ->0・pp->0*p存在，则称此极限为函数/在点垃沿方向/的方向导数，记为%h或/（C）、力（兀0』0,5）・对二元函数Z=f(x,y)在点几(兀0，儿)，可仿此定义方向导数•易见笑、g和?是三元两数于在点佗分别沿X轴正向、丫轴正向和dxdydzZ轴正向的方向导数.例1/(x,y,z)二兀+)"+"求/在点人)(1,1,1)处沿/方向的方向导数，其小(1)I为方向(2,-2,1);(2)/为从点(1,1,1)到点(2,-2,1)的方向.X—V—1
5、7—1令解(1)/为方向的射线为=====/(>0).即2-21x=2r+l,y=-2t+l9z=r+l,(r>0)/(/^)=/(1,1,1)=3,f(P)=/(2/+1,—2(+1,/+l)=(2t+l)+(-2r+l)2+(/+1尸=”+7/2+r+3P=J(—l)2+(y_I)2+(z_l)2=7(2O2+(-2r)2+r2=3r.dfvf(P)—f(PJvt3+7t2+t1因此，—L=Iim―'0=lim=引氏qto+p2(r3/3(2)从点(1,1,1)到点(2,-2,1)的方向/的方向数为(1,一3,0),/方向的射线为兀=r+1,y=-3t+1,z
6、=l,(r>0)./(P)=/(r+l,-3f+l,l)=9f2-5r+3,g)*(1,1,1)=3;p=J(—l)2+()，_l)2+(z_l)2=昴+(_3“2=皿因此，哲厂li訂品.引"qto・p"7i0rVio(二)、方向导数的计算：定理：若函数/在点人)(勺,儿皿0)可微，则/在点片)处沿任一方向/的方向导数都存在，且力(人)=£(人)COSG+/〉.(&)COS0+£(壮)cosy,其中cosa>cos/?flIcos/为/的方向余弦.对二元函数/(兀,y),/(仇)=£.(片))cosq+人(佗)cos0,其中a和0是/的方向角.注：由//(&)=人(
7、化)COSQ+fv(P())COS0+£(人)cosy=(九(佗)，人(耳),£(佗)(COSQ,COS0,cos/),可见，力侃）为向量（w人（儿），£（P°））在方向/上的投影•例2（上述例1）222i解(1)/的方向余弦为COS6Z=t=—,COS0二——,cos/=-.人(几)=1,722+(-2)2+12333fy(P0)=2yly=1=2,fz(P0)=3^z=1=3.因此，普=/"))cosq+/v(A))cos0+f,(P0)cos/=
8、+2-(-
9、)+3«
10、=
11、.cl3333(2)/的方向余弦为2-11cosa二f==—=7(2-l)2+(-2
