2020高考数学刷题首选卷 第七章 平面解析几何 考点测试50 抛物线 文（含解析）

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1、考点测试50　抛物线高考概览本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题、解答题，分值为5分或12分，中、高等难度考纲研读1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)2．理解数形结合的思想3．了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用一、基础小题1．抛物线y＝x2的准线方程是(　　)A．y＝－1B．y＝－2C．x＝－1D．x＝－2答案　A解析　依题意，抛物线x2＝4y的准线方程是y＝－1，故选A．2．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线准线的距离为(　　)A．4B

2、．6C．8D．12答案　B解析　依题意得，抛物线y2＝8x的准线方程是x＝－2，因此点P到该抛物线准线的距离为4＋2＝6，故选B．3．到定点A(2，0)与定直线l：x＝－2的距离相等的点的轨迹方程为(　　)A．y2＝8xB．y2＝－8xC．x2＝8yD．x2＝－8y答案　A解析　由抛物线的定义可知该轨迹为抛物线且p＝4，焦点在x轴正半轴上，故选A．4．若抛物线y2＝2px(p>0)上的点A(x0，)到其焦点的距离是A到y轴距离的3倍，则p等于(　　)A．B．1C．D．2答案　D解析　由题意3x0＝x0＋，x0＝，则＝2，∵p>

3、0，∴p＝2，故选D．5．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则

4、AB

5、等于(　　)A．4B．6C．8D．10答案　C解析　由抛物线y2＝4x得p＝2，由抛物线定义可得

6、AB

7、＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2，又因为x1＋x2＝6，所以

8、AB

9、＝8，故选C．6．若抛物线y＝4x2上一点到直线y＝4x－5的距离最短，则该点为(　　)A．(1，2)B．(0，0)C．，1D．(1，4)答案　C解析　解法一：根据题意，直线y＝4x－5必然与抛物线y＝4x2相离，抛物线上

10、到直线的最短距离的点就是与直线y＝4x－5平行的抛物线的切线的切点．由y′＝8x＝4得x＝，故抛物线的斜率为4的切线的切点坐标是，1，该点到直线y＝4x－5的距离最短．故选C．解法二：抛物线上的点(x，y)到直线y＝4x－5的距离是d＝＝＝，显然当x＝时，d取得最小值，此时y＝1．故选C．7．已知动圆过点(1，0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．答案　y2＝4x解析　设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与其到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为

11、y2＝4x．8．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且满足

12、NF

13、＝

14、MN

15、，则∠NMF＝________．答案　解析　过N作准线的垂线，垂足是P，则有

16、PN

17、＝

18、NF

19、，∴

20、PN

21、＝

22、MN

23、，∠NMF＝∠MNP．又cos∠MNP＝，∴∠MNP＝，即∠NMF＝．二、高考小题9．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2，0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·＝(　　)A．5B．6C．7D．8答案　D解析　根据题意，过点(－2，0)且斜率为的直线方程为y＝(x＋2

24、)，与抛物线方程联立消去x并整理，得y2－6y＋8＝0，解得M(1，2)，N(4，4)，又F(1，0)，所以＝(0，2)，＝(3，4)，从而可以求得·＝0×3＋2×4＝8，故选D．10．(2017·全国卷Ⅰ)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则

25、AB

26、＋

27、DE

28、的最小值为(　　)A．16　B．14　　C．12　　D．10答案　A解析　因为F为y2＝4x的焦点，所以F(1，0)．由题意直线l1，l2的斜率均存在，且不为0，设l1的斜率为

29、k，则l2的斜率为－，故直线l1，l2的方程分别为y＝k(x－1)，y＝－(x－1)．由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝1，所以

30、AB

31、＝·

32、x1－x2

33、＝·＝·＝．同理可得

34、DE

35、＝4(1＋k2)．所以

36、AB

37、＋

38、DE

39、＝＋4(1＋k2)＝4＋1＋1＋k2＝8＋4k2＋≥8＋4×2＝16，当且仅当k2＝，即k＝±1时，取得等号．故选A．11．(2018·全国卷Ⅲ)已知点M(－1，1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若

40、∠AMB＝90°，则k＝________．答案　2解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则所以y－y＝4x1－4x2，所以k＝＝．取AB的中点M′(x0，y0)，分别过点A，B作准线x＝－1的垂线，垂足分别为A′，B′．因为∠AMB＝90°，所以

41、MM′

42、＝

43、AB

44、＝(