2018-2019高中数学 第3章 导数及其应用 3.3.3 最大值与最小值学案 苏教版选修1 -1

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1、3.3.3　最大值与最小值学习目标　1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值.知识点　函数的最大值与最小值如图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图象.思考1　观察[a，b]上函数y＝f(x)的图象，试找出它的极大值、极小值.答案　极大值为f(x1)，f(x3)，极小值为f(x2)，f(x4).思考2　结合图象判断，函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？答案　存在，f(x)min＝f(a)，f(x)max＝f(x3).思考3　函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值一定是某极值吗？答案　不一定，也可

2、能是区间端点的函数值.梳理　(1)函数的最大(小)值的存在性一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.(2)求函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.1.定义在闭区间[a，b]上的函数f(x)一定有最大值和最小值.(　×　)2.函数f(x)在[a，b]上的最大值是f(b)，最小值是f(a).(　×　)3.定义在开区间(a，b)上的函数f(x)没有最值.(　×　)4

3、.函数的所有极大值中最大的一个就是最大值.(　×　)类型一　求函数的最值例1　求下列函数的最值：(1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－2,3]；(2)f(x)＝x＋sinx，x∈[0,2π].考点　利用导数求函数的最值题点　不含参数的函数求最值解　(1)f(x)＝2x3－12x，所以f′(x)＝6x2－12＝6(x＋)(x－)，令f′(x)＝0，解得x＝－或x＝.因为f(－2)＝8，f(3)＝18，f()＝－8，f(－)＝8；所以当x＝时，f(x)取得最小值－8；当x＝3时，f(x)取得最大值18.(2)f′(x)＝＋cosx，令f′(x)＝0，又x∈[0,2π]，解得x＝π或

4、x＝π.计算得f(0)＝0，f(2π)＝π，f ＝＋，f ＝π－.所以当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0；当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π.反思与感悟　求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点(1)对函数进行准确求导，并检验f′(x)＝0的根是否在给定区间内；(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值；(3)比较极值与端点函数值大小，确定最值.跟踪训练1　求函数f(x)＝ex(3－x2)，x∈[2,5]的最值.考点　利用导数求函数的最值题点　不含参数的函数求最值解　∵f(x)＝3ex－exx2，∴f′(x)＝3ex－(exx2＋2exx)＝－ex(x2＋

5、2x－3)＝－ex(x＋3)(x－1).∵在区间[2,5]上，f′(x)＝－ex(x＋3)(x－1)<0，∴函数f(x)在区间[2,5]上单调递减，∴当x＝2时，函数f(x)取得最大值f(2)＝－e2；当x＝5时，函数f(x)取得最小值f(5)＝－22e5.例2　已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)，求f(x)在区间[0,2]上的最大值.考点　含参数的函数最值问题题点　含参数的函数求最值解　由题意，得f′(x)＝x(3x－2a)，令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝.当≤0，即a≤0时，f(x)在[0,2]上单调递增，从而f(x)max＝f(2)＝8－4a.当≥2，即a≥

6、3时，f(x)在[0,2]上单调递减，从而f(x)max＝f(0)＝0.当0<<2，即0

7、当a≤－1，即a≤－时，f(x)在[－1,0]上单调递减，从而f(x)max＝f(－1)＝－1－a；③当－1