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《高中数学第一章1.1任意角和蝗制1.1.1任意角知识巧解学案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1.1.1任意角疱工巧解牛知识•巧学一、正角、负角、零角1.一条射线的端点是O，它从初始位置OA旋转到终止位置OB，形成一个角α，点O是角α的顶点，射线OA、OB分别是角α的始边、终边.我们规定，按逆时针方向旋转形成的角叫正角；按顺时针旋转形成的角叫负角；若射线没有作任何旋转，形成的角叫零角，这样就把角的概念推广到了任意角.旋转一周角的大小记为360°，如图1-1-1.图1-1-12.由于图1-1-1(1)中的α、β分别是按逆时针、顺时针方向旋转的，所以α=45°，β=-315°；图1-1-1(2)中的α=30°，β=390°，γ=-60
2、°.显然角的大小与旋转的周数有关，角的正负与旋转的方向有关.图1-1-2如图1-1-2，射线OA绕端点O旋转90°到射线OB的位置，接着再旋转-30°到OC的位置，则∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+(-30°)=60°.学法一得引入正角、负角的概念后，角的减法运算可以转化为角的加法运算，即可以转化α-β为α+(-β)，也就是说各角和的旋转量等于各角旋转量的和.3.在画图表示角时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向，旋转的周数及角的绝对值的大小，旋转生成的角，又常称为转角.显然，如果以第一个角的终边为始边作第二个角，以第二个角的终边为始边
3、作第三个角，这样一直作下去，那么所有这些角的和等于以第一个角的始边为始边，以最后一个角的终边为终边的角的大小.二、象限角1.若把角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除顶点外)在第几象限，我们说这个角是第几象限角.图1-1-3例如：由于图1-1-3甲中的角45°、405°、-315°都是始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第一象限的角，所以它们都是第一象限角；同理图1-1-3乙中的角480°是第二象限的角，-70°、290°都是第四象限的角.2.表示各个象限角时，可以先在0°—360°范围内确定角的界限，然后再加
4、上360°的整数倍，如第一象限角，在0°—360°范围内，第一象限角表示为0°＜α＜90°，然后在两端加上k·360°,k∈Z，即可得到第一象限角的集合：{α
5、k·360°+90°＜α＜k·360°+90°,k∈Z}，其他各象限角同理可得.3.特别地，如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.例如0°、90°、-180°、630°等，这些角都不属于任何一个象限，我们称之为非象限角，也叫象限界角.与象限角的确定方法相同,终边落在x轴的非负半轴上的角的集合为{α
6、α=k·360°,k∈Z}.同理可得其他非象限角的集合.深化升华角
7、以终边的位置为分类标准，被分为象限角与非象限角，象限角及非象限角都是相对于坐标系而言的.只有在角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合这一前提下，才能讨论象限角与非象限角.在直角坐标系内讨论角，可以使角的讨论得到简化，还能有效地表示出角的终边位置“周而复始”的现象.三、与角α终边相同的角1.设S={β
8、β=45°+k·360°,k∈Z}，显然，所有与45°角终边相同的角都是集合S的元素；反过来，集合S中的任何一个元素也都与45°角的终边相同.把角α推广到一般形式有：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S={β
9、β=
10、α+k·360°,k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角和的形式.辨析比较对于这个概念的理解要把握以下三点：①k∈Z；②α是任意角；③终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍.2.终边相同的角的用途：利用与角α终边相同的角的集合，可把任一角β转化成β=θ+k·360°,k∈Z,θ∈［0°,360°)的形式；也可利用与角α终边相同的角化简终边落在过原点的某一条直线上的角的集合；或利用与角α终边相同的角写出各象限角的集合.典题•热题知识点一各角和的旋转量等于各角旋转量的和例1射线OA绕端
11、点O逆时针方向旋转150°到OB位置，接着再按顺时针方向旋转60°到OC位置，然后再逆时针方向旋转90°到OD位置，求∠AOD的大小.思路分析：我们规定，按逆时针方向旋转形成的角叫正角；按顺时针方向旋转形成的角叫负角；若射线没有作任何旋转，形成的角叫零角，逆时针方向旋转150°即+150°，顺时针方向旋转60°即-60°，再逆时针方向旋转90°即再+90°，由此可得结论.图1-1-4解：如图1-1-4，由题意知∠AOB=150°,∠BOC=-60°,∠COD=90°,所以∠AOD=∠AOB+∠BOC+∠COD=150°-60°+90°=1
12、80°.方法归纳在画图表示角时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向.显然，如果以第一个角的终边为始边作第二个角，以第二个角的终边为始边作第三个角，这样一直作下去，那么所有这些角的和等于以第一个角的
