高中数学第一章函数概念1.3.1函数的基本性质课堂导学案

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1、1.3.1函数的基本性质课堂导学三点剖析一、函数单调性【例1】证明函数y=x-在(0,+∞)上单调递增.思路分析:作为证明单调性的要求,不能只作简单定性分析,还要用定义严格证明.证明:设任意x1、x2∈(0,+∞)且x10,1+>0.因此（x1-x2）(1+1x1x2)<0,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)

2、于对它判断，应严格按单调性定义加以证明.2.利用定义证明单调性，一般要遵循：(1)取值(任取给定区间上两个自变量);(2)作差变形〔将f(x1)-f(x2)进行代数恒等变形，一般要出现乘积形式，且有(x1-x2)的因式〕;(3)判断符号(根据条件判断差式的正负);(4)得出结论.3.有时需要通过观察函数的图象，先对函数是否具有某种性质做出猜想，然后通过逻辑推理，证明这种猜想的正确性，这是研究函数性质的一种常用方法.【例2】f(x)是二次函数，且在x=1处取得最值，又f()

3、)置于某一单调区间内再进行比较大小.解：由于f(x)是二次函数，且在x=1处取得最值，因此x=1是二次函数的对称轴.又∵1<<π,f()f(0),即f(-2)>f(2).温馨提示利用函数的单调性比较两函数值的大小，关键是将所比较的数值对应的自变量转化到同一单调区间上，才能进行比较.二、函数的最值【例3】求f(x)=x+的最小值.思路分析：该题函数f(x)由x与相加构成，x与具

4、有相同的单调性，因此该题可借助单调性直接解决，同时由于x的次数不一致，出现了相当于2倍的关系，因此该题也可先转化为二次函数再利用二次函数的单调性解决.解法一：f(x)=x+的定义域为［1,+∞］,在［1,+∞］上x、同时单调递增，因此f(x)=x+在［1,+∞］上单调递增，最小值为f(1)=1+=1.解法二：f(x)=x+的定义域为［1,+∞］，令=t≥0,x=t2+1,∴f(x)=g(t)=t2+1+t=t2+t+1=(t+)2+(t≥0).由于g(t)的对称轴t=-在［0,+∞)的左侧，g(t)的开口方向向上，如右图所示.二次函数在［0,+∞)上单调递增，当

5、t=0时,g(t)min=1，∴f(x)的最小值为1.温馨提示1.本题的两种解法都是利用函数的单调性求最值，其中解法二是利用换元法，将原函数转化为已知二次函数在给定区间上的最值问题，该方法要特别注意正确确定中间变量的取值范围.2.利用单调性求最值，其规律为：若f(x)在［a,b］上单调递增，则f(a)≤f(x)≤f(b)，即最大值为f(b),最小值为f(a);若f(x)在［a,b］上单调递减，则f(b)≤f(x)≤f(a)，即最大值为f(a),最小值为f(b).三、函数单调性的应用【例4】(1)若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4］上是减函数

6、，求实数a的取值范围；(2)y=kx2-x+1在［0,+∞)上单调递减，求实数k的取值范围.思路分析：(1)二次函数的单调区间依赖于其对称轴的位置，处理二次函数的单调性问题需对对称轴进行讨论.(2)y=kx2-x+1中的k是否为零要注意讨论.解：(1)f(x)=x2+2(a-1)x+2，其对称轴为x==1-a，若要二次函数在(-∞,4］上单调递减，必须满足1-a≥4,即a≤-3.如图所示.(2)k=0时，y=-x+1满足题意；k>0时，抛物线开口向上，在［0,+∞)上不可能单调递减；k<0时，对称轴x=<0在［0,+∞］上单调递减.综上，k≤0.温馨提示f(x)

7、在（-∞,4］上是减函数，只说明区间（-∞,4］是函数f(x)在定义域上单调递减区间的一个子集.各个击破类题演练1证明二次函数f(x)=ax2+bx+c(a<0)在区间（-∞，-）上是增函数.证明：设x1、x2∈(-∞,-)，且x1-b,∴a(x1+x2)+b>0.∵x1-x2<0，∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)

8、升1若函数f(x)=x+