2019年浙江省中考真题相似三角形培优汇编试题 （含答案）

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1、2019年浙江中考相似三角形培优汇编1.（2019杭州）如图，把某矩形纸片ABCD沿EF、GH折叠（点E、H在AD边上，点F、G在BC边上），使得点B、点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A'点，D点的对称点为D点，若∠FPG=90°，△A'EP的面积为4，△D'PH的面积为1，则矩形ABCD的面积等于.H答案：∵A'E∥PF∴∠A'EP=∠D'PH又∵∠A=∠A'=90°，∠D=∠D'=90°∴∠A'=∠D'∴△A'EP～△D'PH又∵AB=CD，AB=A'P，CD=D'P∴A'P=D'P设A'P=D'P=x∵S△A'EP：S△D'PH=4：1∴A'E=

2、2D'P=2x∴S△A'EP=∵x>0∴x=2∴A'P=D'P=2∴A'E=2D'P=4∴∴PH=EP=∴DH=D'H=A'P=1∴AD=AE+EP+PH+DH=5+3∴AB=A'P=2∴2.（2019绍兴）如图，矩形ABCD中，AB=a，BC=b，点M,N分别在边AB,CD上，点E,F分别在BC,AD上，MN,EF交于点P，记k=MN∶EF.（1）若a∶b的值是1，当MN⊥EF时，求的值.（2）若a∶b的值是，求k的最大值和最小值.（3）若的值是3，当点N是矩形的顶点，∠MPE=60°，MP=EF=3PE时，求a∶b的值.答案：（1）作FH⊥BC，MQ⊥CD，

3、如图1，∵四边形ABCD为正方形，∴FH＝AB，MQ＝BC，∴FH＝MQ．∵MN⊥EF，∴∠HFE＝∠NMQ，∠FHE＝∠MQN＝90°，∴△FHE≌△MQN，∴MN＝EF，∴k＝1．（2）∵a:b＝1:2，∴b＝2a．由题意得，2a≤MN≤a，a≤EF≤a，当MN取最长时，EF可取到最短，此时k的值最大，最大值为．当MN取最短时，EF可取到最长，此时k的值最小，最小值为．（3）连结FN，ME．∵＝3，MP＝EF＝3PE，∴＝＝3，∴＝＝2，∴△PNF∽△PME，∴＝＝2，ME∥NF．设PE＝2m，则PF＝4m，MP＝6m，NP＝12m．①当点N与点D重合时，如

4、图2，点M恰好与点B重合，过点F作FH⊥BD于点H，∵∠MPE＝∠FPH＝60°，∴PH＝2m，FH＝2m，HD＝10m，∴＝＝＝．②当点N与点C重合，如图3，过点E作EH⊥MN于点H，则PH＝m，HE＝m，∴HC＝PH＋PC＝13m，∴＝＝．∵ME∥FC，∴∠MEB＝∠FCB＝∠CFD．又∵∠B＝∠D，∴△MEB∽△CFD，∴＝＝2，∴＝＝＝．综上所述，a：b的值为或．3.（2019嘉兴）小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展(1)温故：如图 1，在△ABC中，AD⊥BC 于点D，正方形PQMN 的边QM在BC上，顶点 PN 分别在A

5、B，AC上，若 BC=6，AD=4，求正方形PQMN 的边长．(2)操作：能画出这类正方形吗?小波按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：如图 2，任意画△ABC，在AB上任取一点P'，画正方形 P'Q'M'N'，使Q'，M'在BC边上，N' 在△ABC 内，连结BN' 并延长交AC 于点N，画NM⊥BC于点M，NP⊥MN 交AB于点P，PQ⊥BC 于点Q，得到四边形 PQMN．小波把线段BN 称为“波利亚线”．推理：证明图2 中的四边形 PQMN是正方形．答案：（1）解：如图1中，图1∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∴，即，解得PN＝．（2）能画出这

6、样的正方形，如图2中，正方形PNMQ即为所求．证明：如图2中，图2由画图可知：∠QMN＝∠PQM＝∠NPQ＝∠BM′N′＝90°，∴四边形PNMQ是矩形，MN∥M′N′，∴△BN′M′∽△BNM，∴，同理可得：，∴，∵M′N′＝P′N′，∴MN＝PN，∴四边形PQMN是正方形．4.（2019金华）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=14。点D，E分别在边AB，BC上，将线段ED绕点E按逆时针方向旋转90°得到EF。（1）如图1，若AD=BD，点E与点C重合，AF与DC相交于点O，求证：BD=2DO．（2）已知点G为AF的中点。①如图2，若AD=B

7、D，CE=2，求DG的长。②若AD=6BD，是否存在点E，使得△DEG是直角三角形?若存在，求CE的长；若不存在，试说明理由。答案：（1）解：由旋转的性质得：CD=CF，∠DCF=90°，∵△ABC是等腰直角三角形，AD=BD，∴∠ADO=90°，CD=BD=AD，∴∠DCF=∠ADC，在△ADO和△FCO中，∵，∴△ADO≌△FCO（AAS），∴DO=CO，∴BD=CD=2DO.（2）解：①如图1，分别过点D、F作DN⊥BC于点N，FM⊥BC于点M，连结BF，∴∠DNE=∠EMF=90°，又∵∠NDE=∠MEF，DE=EF，∴△DNE≌△EMF，∴DN=EM，

8、又∵BD=7，∠ABC=