等差数列前n项和教学实录

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1、等差数列的前n项和教学实录一、复习旧知每个学生发一张白纸，同时让两个学生在黑板上板演，教师说检测内容：①等差数列的定义及定义式；②等差数列的通项公式；③等差数列通项公式的推导方法.（设计意图：检查学生掌握上节知识的情况，为本节新课的学习做好准备.）（简要实录：学生认真做答，教师巡视，2分钟后，看到学生做答完毕，让学生将检测纸收起来.之后，教师和学生一起对黑板上的做答评价，订正.）二、引入新课1、创设情境：出示投影：如图1堆放着一堆钢管，最上层放了4根，下面每一层比上一层多放一根，共8层，这堆钢管共有多少根？图1图2（设计意图：从实例引出求等差数列前

2、n项和的问题，通过这个实例的解答，使学生了解“等差数列的前n项和公式”的意义.）（简要实录：教师引导学生，这堆钢管从上至下每层的数量组成首项a1=4，公差的等差数列.求这堆钢管有多少根，就是求这个等差数列前8项的和，怎样求这8项的和？学生开始小组讨论，3分钟后，小组代表纷纷发言，说出自己的思路.有的学生提出，可以联系三角形面积的得出办法，补成平行四边形，利用平行四边形面积的一半得出.）教师小结：很好，借助此思路，在这堆钢管旁，再堆放同样数量的钢管，如图2这时每层都有钢管（4＋11）根，因此这堆钢管的总数是（4＋11）×8÷2=×8=60（根）.教师

3、提出问题：对于等差数列{an}的前n项和Sn怎样求解？教师提示：a1＋an=a2＋an－1=a3＋an－2=…，学生小组讨论，由小组代表发言，说出推导思路：Sn=a1＋a2＋a3＋…＋an，①再把项的顺序反过来，Sn又可写成Sn=an＋an－1＋an－2＋…＋a1，②把①②两边分别相加，得2Sn=n（a1＋an），由此得到，求等差数列前n项和Sn公式Sn=4.若将an=na1＋（n－1）d代入得等差数列前n项和的又一公式Sn=na1＋d.教师让学生记忆公式并在笔记本上默写.出示投影：例1：等差数列{an}的公差为2，第20项a20=29，求前20项

4、的和S20.（设计意图：此题属于在等差数列中的五个量a1，an，n，d，Sn“知三求二”的题目，目的在于训练学生对等差数列的通项公式以及前n项和公式的综合应用能力.）（简要实录：教师引导，让学生得出解题的关键是通过通项公式解出a1，之后2个学生板演，其他同学在习题本上做，最后让学生看课本上的解答过程并进行订正.）出示投影：例2：已知数列{an}的前n项和Sn=2n2－30n.（1）这个数列是等差数列吗？求出它的通项公式；（2）求使得Sn最小的序号n的值.（设计意图：让学生认识到：如果数列{an}的前n项和Sn已定，那么这个数列就确定了，利用二次函数

5、来解决等差数列的前n项和的最值问题.）（简要实录：教师引导，让学生得出解题的关键是通过通项公式解出a1，之后2个学生板演，其他同学在习题本上做，最后看课本解答过程订正.教师引导学生考虑其他解决办法，有一个小组的学生代表得出解决等差数列的前n项和存在最值问题.方法一：类似于二次函数，利用配方法求顶点坐标，但数列中n∈N+.方法二：先求通项公式，若，则数列的前项和最大；若，则数列的前n项和最小.全体同学都表示赞同，并给予热烈的掌声.教师也给予肯定，指出方法一抓住了前n项和公式的结构特点，转化到学生最熟悉的一元二次函数，通过配方法来解决；方法二是找项值的

6、正、负分界点，计算简单.）出示投影：思考与讨论：1、如果已知数列{an}的前n项和Sn公式，那么这个数列确定了吗？如果确定了，那么如何求它的通项公式？应注意一些什么问题？2、如果一个数列的前n项和Sn=an2＋bn＋c（a、b、C为常数），那么这个数列一定是等差数列吗？（设计意图：从例2到“思考与讨论”，是让学生从具体到抽象，借助实例研究问题.）（简要实录：学生分成小组讨论，气氛非常活跃，各小组的成员纷纷发表自己的想法.结合例2，最终得出正确结论：4已知数列{an}的前n项和Sn公式，这个数列是确定的，并且这个数列的通项公式可以表示成an=，当n=

7、1时，如果Sn－Sn-1的值等于S1，那么通项公式才能写成an=Sn－Sn-1（n∈N+）.）教师强调：等式an=Sn－Sn-1中的限制条件为n≥2，同学们易忽视而导致有些题目得出错误的通项公式.出示投影：例3：李先生为今年上高中的儿子办理了“教育储蓄”.从8月1号开始，每个月的1号都存入100元，存期三年.（1）已知当年“教育储蓄”存款的月利率是2.7‰，问到期时，李先生一次可支取本息共多少元？（2）已知当年同档次的“零存整取”储蓄的月利率是1.725‰，问李先生办理“教育储蓄”比“零存整取”多收益多少元？（设计意图：存款问题是数列中非常典型的应

8、用问题，通过此题让学生认识到“等差数列的前n项和公式”在解决实际问题中的作用，会选择最佳方案.体会知识是由实践到理论，再作