第 03 讲 函数方程思想与建模(高中版)

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1、第3讲函数方程思想与建模（高中版）（第课时）神经网络准确记忆！函数方程思想与建模重点难点好好把握！重点：1．函数的性质；2．函数方程思想；3．构造模型解决纯数学问题；4．构造模型解决现实世界中的实际问题。难点：构造模型解决现实世界中的实际问题。考纲要求注意紧扣！1．能从题目中收集和处理信息；2．能把现实世界中的实际问题抽象和简化成数学问题；3．能综合应用数学知识、思想和方法解决实际问题。命题预测仅供参考！函数是中学数学的主线内容，综合性极强，它涉及代数的方程、不等式、数列，以及三角甚至几何问题。对函数方程思想的考查往往都是间接和隐蔽的。函数的相关知识几乎

2、全部出现在考题中，增强对生产与生活中的实际问题的考查力度。近年来高考十分重视对应用问题的考查，题数明显增加，小题向大题转化；紧密联系当前的市场经济和价值规律，应用题的信息来源真实可靠；涉及函数、数列、不等式等高中主要内容，建模思想必将体现在其中。近年高考试题中应用题的考查情况一览表：考点热点一定掌握！函数思想就是将所研究的问题（包括表面看来的非函数问题）借助建立函数关系式（或构造中间函数），结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、并最终解决。方程思想就是将数学与实际问题中的数量关系运用数学语言转化为方程或不等式模型加以解决。实际上函数和多元方程没有什么

3、本质区别，例如函数，就可以看作二元方程。所以有时还可以实现函数与方程的互相转化，达到解决问题的目的。要深刻理解一般函数、的性质（单调性、奇偶性、周期性、最值和图象变换），这是应用函数思想解题的基础。数学模型：按广义的解释，数学概念、数学公式以及由它们构成的算法系统都称之为数学模型。数学模型是对客观事物的空间形式和数量关系的一个近似的反映。数学模型可以是方程、函数或其它数学式子，也可以是一个几何图形。数学建模思想不仅是处理纯数学问题的一种经典方法，而且也是处理各种实际问题的一般数学方法。数学建模：把现实世界中的实际问题加以抽象和简化，成为数学模型，进而求出

4、模型的解，最后验证模型的合理性（如果不合理，则应该修改假设，重复建模过程）,并用该数学模型所提供的解答来解释现实问题，我们把数学知识的这一应用过程称为数学建模。用数学建模解决问题的基本步骤如右边的流程图。对于实际应用问题，由于题目文字一般比较多，提供的情景和术语可能比较陌生，陈述的顺序也可能和平时不同，我们必须提高心理承受能力，保持冷静。首先要理解题意，明确问题的实际背景，其次要合理选择变量与参数，最后建立函数、方程或不等式等数学模型，并应用相关知识求解。对于实际问题，常用的模型有：方程不等式模型、函数模型、数列模型、概率统计模型、几何模型、三角模型。“

5、建模”没有固定的模式，要想用好它，需要具备敏锐的观察能力、丰富的联想能力和创造性思维能力，故有一定的难度。用好建模思想解题的关键有二：一是要有明确的建模方向，即为什么目的而建模；二是要弄清条件的本质特点，以便重新进行逻辑组合。一.利用函数方程思想分析问题利用函数思想可以对方程、不等式、参数的取值范围、数列的通项与前n项和之类的问题加以分析。例．关于x的不等式2·32x–3x+a2–a–3＞0，当0≤x≤1时恒成立，求实数a的取值范围。分析：设，则t∈［1,3］，原不等式可化为a2–a–3＞–2t2+t,t∈［1,3］，它等价于a2–a–3大于f(t)=–

6、2t2+t在［1,3］上的最大值。解：设，∵0≤x≤1，∴t∈［1,3］，原不等式可化为a2–a–3＞–2t2+t,t∈［1,3］，设，则其图像开口向上，顶点横坐标为，故其在区间［1,3］内的最大值在端点1处取得，，解a2–a–3＞–1得(–∞,–1)∪(2,+∞)点评：本题利用函数思想分析不等式以及求参数的取值范围。例（1992年高考理科题）．设等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a3=12,S12>0,S13<0.⑴求公差d的取值范围.指出S1,S2,…,S12中哪一个值最大,并说明理由分析：对于第⑵问，利用S是n的二次函数，将问题转换为求二次函数

7、的最值问题。解：⑴由a＝a＋2d＝12,得到a＝12－2d，所以S＝12a＋66d＝12(12－2d)＋66d＝144＋42d>0，S＝13a＋78d＝13(12－2d)＋78d＝156＋52d<0。解得：－

8、问题。例．已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数，且a≠0)满足条件: