九年级数学下册 第6章 图形的相似 专题训练（三）相似三角形的五种基本模型同步练习 （新版）苏科版

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1、专题训练(三)　相似三角形的五种基本模型　►　模型一　“X”字型1．如图3－ZT－1，P是▱ABCD的边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中的相似三角形有(　　)图3－ZT－1A．0对B．1对C．2对D．3对2．xx·杭州西湖区一模如图3－ZT－2，BE是△ABC的角平分线，延长BE至点D，使得CD＝BC.(1)求证：△AEB∽△CED；(2)若AB＝2，BC＝4，AE＝1，求CE的长．图3－ZT－23．如图3－ZT－3，E是▱ABCD的边BC延长线上一点，AE交CD于点F，FG∥AD交AB于点G.(1)填空：图中与△CEF相似的三

2、角形是________(写出图中与△CEF相似的所有三角形)；(2)从(1)中选出一个三角形，并证明它与△CEF相似．图3－ZT－3►　模型二　“A”字型4．如图3－ZT－4，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且∠AED＝∠B.若AB＝10，AC＝8，AD＝4，求AE的长．图3－ZT－45．如图3－ZT－5，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点D从点C出发，以2cm/s的速度沿折线C－A－B向点B运动，同时，点E从点B出发，以1cm/s的速度沿BC边向点C运动，设点E运动的时间为t(s)(0＜t＜8)．(1)求AB

3、的长；(2)当△BDE是直角三角形时，求t的值．图3－ZT－5►　模型三　子母型6．如图3－ZT－6所示，点D在△ABC的边AB上，AD＝2，BD＝4，AC＝2.求证：△ACD∽△ABC.图3－ZT－67．如图3－ZT－7，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，E是BC上任意一点，EF⊥AB于点F.求证：AC2＝AD·AF＋CD·EF.图3－ZT－78．如图3－ZT－8，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BC，AC上，且BD＝CE，AD与BE相交于点F.(1)△AEF与△ABE相似吗？说明你的理由．(2)BD2＝AD·FD吗？请说明理由．图3－Z

4、T－8►　模型四　旋转型9．已知：如图3－ZT－9，△ABD∽△ACE.求证：(1)∠DAE＝∠BAC；(2)△DAE∽△BAC.图3－ZT－910．如图3－ZT－10，已知：在△ABC和△EDC中，AB＝AC，EC＝ED，∠BAC＝∠CED，点A，D在直线CE的同侧，直线AE，BD交于点F.(1)当点B，C，E在同一直线上，且∠BAC＝60°时(如图(a))，则∠AFB＝________°.(2)当点B，C，E不在同一条直线上时(点F不与点A，B重合)，如图(b)或图(c)．①若∠BAC＝α，则在图(b)中，求∠AFB的度数(用含α的式子表示)

5、．②在图(c)中，①中的结论是否还成立？若成立，请说明理由；若不成立，则∠AFB等于什么？写出推理过程．图3－ZT－10►　模型五　一线三等角型11．如图3－ZT－11，等边三角形ABC的边长为6，D是BC边上的动点，∠EDF＝60°.(1)求证：△BDE∽△CFD；(2)当BD＝1，CF＝3时，求BE的长．图3－ZT－11详解详析1．[解析]D　∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AD∥BC，∴△EAP∽△EDC，△EAP∽△CBP，∴△EDC∽△CBP，故有3对相似三角形．故选D.2．解：(1)证明：∵BE是△ABC的角平分线，∴∠A

6、BE＝∠CBE.∵CD＝BC，∴∠CDE＝∠CBE＝∠ABE.又∵∠AEB＝∠CED，∴△AEB∽△CED.(2)∵BC＝4，∴CD＝4.∵△AEB∽△CED，∴＝，即＝，∴CE＝2.3．[解析](1)根据已知及相似三角形的判定方法进行分析，从而得到图中与△CEF相似的三角形；(2)根据已知及相似三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．解：(1)△DAF，△BEA，△GFA(2)答案不唯一，选证△DAF∽△CEF.证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴BE∥AD，∴∠1＝∠E，∠2＝∠D，∴△DAF∽△CEF.4．[解析]利用两角分别相等的三角形

7、相似得到△AED与△ABC相似，由相似得比例式求出AE的长即可．解：∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A，∴△AED∽△ABC，∴＝.∵AB＝10，AC＝8，AD＝4，∴＝，∴AE＝5.5．解：(1)由勾股定理，得AB＝＝10(cm)．(2)当点D在AC上运动时，∠DEB＝∠C＋∠CDE＞90°，∴△BDE不可能是直角三角形．若点D在AB上，如图①，当∠BED＝90°时，△BDE是直角三角形，则BE＝t，AC＋AD＝2t，∴BD＝6＋10－2t＝16－2t.∵∠BED＝∠C＝90°，∠B＝∠B，∴△BDE∽△BAC，∴＝，∴＝，解得t＝；如图②，当∠ED

8、B＝90°时，△BDE是直角三角形，则BE＝t，BD＝16－2t.在△BDE和△BCA中，∵∠BDE＝∠C，∠B＝∠B，∴△BDE∽△B