江苏专版2019届高考数学一轮复习第四章平面向量数系的扩充与复数的引入第4讲数系的扩充与复数的引入分层演练直击高考文

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1、第4讲数系的扩充与复数的引入1．(2018·连云港模拟))复数(1＋i)2的虚部是________．[解析](1＋i)2＝2i，所以该复数的虚部为2.[答案]22．复数z满足(z－3)(2－i)＝5(i为虚数单位)，则z的共轭复数为________．[解析]由(z－3)(2－i)＝5，得z＝3＋＝3＋＝3＋2＋i＝5＋i，所以＝5－i.[答案]5－i3．设复数z的共轭复数为，若z＝1－i(i为虚数单位)，则＋z2的值为________．[解析]依题意得＋z2＝＋(1－i)2＝－2i＝i－2i＝－i.[答案]－i4．在复平面内O为坐标原点，复数1＋i与1＋3i分别对

2、应向量和，则

3、

4、＝________.[解析]由复数的几何意义知，＝(1，1)，＝(1，3)，则＝－＝(1，3)－(1，1)＝(0，2)，所以

5、

6、＝2.[答案]25．(2018·云南省师大附中月考改编)若复数z＝的共轭复数是＝a＋bi(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则点(a，b)为________．[解析]因为z＝＝－2－i，所以＝－2＋i.[答案](－2，1)6．若(a－2i)i＝b－i，其中a，b∈R，i是虚数单位，则点P(a，b)到原点的距离等于________．[解析]由已知ai＋2＝b－i，所以所以点P(－1，2)到原点距离

7、OP

8、＝.[答案]7．若i(

9、x＋yi)＝3＋4i，x，y∈R，则复数

10、x＋yi

11、＝________．[解析]依题意得－y＋xi＝3＋4i，所以即所以

12、x＋yi

13、＝

14、4－3i

15、＝＝5.[答案]58．设复数z满足4z＋2＝3＋i，ω＝sinθ－icosθ(θ∈R)，则

16、z－ω

17、的取值范围为________．[解析]设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，代入4z＋2＝3＋i，得4(a＋bi)＋2(a－bi)＝3＋i，所以解得所以z＝＋i.

18、z－ω

19、＝＝＝＝.因为－1≤sin≤1，所以0≤2－2sin≤4.所以0≤

20、z－ω

21、≤2.[答案][0，2]9．已知集合M＝，i是虚数单位，Z为整数集，则

22、集合Z∩M中的元素个数是________．[解析]由已知得M＝{i，－1，－i，2}，Z为整数集，所以Z∩M＝{－1，2}，即集合Z∩M中有2个元素．[答案]210．给出下列四个命题：①若z∈C，

23、z

24、2＝z2，则z∈R；②若z∈C，＝－z，则z是纯虚数；③z∈C，

25、z

26、2＝zi，则z＝0或z＝i；④若z1，z2∈C，

27、z1＋z2

28、＝

29、z1－z2

30、，则z1z2＝0.其中真命题的个数为________．[解析]①是真命题，

31、z

32、2＝z·，所以z·＝z2，所以z＝0或z＝，故z∈R；②是假命题，z＝0时不成立；③是假命题，因为

33、z

34、2＝z·＝zi，所以z(－i)＝0，

35、故z＝0或z＝－i；④是假命题，假如z1＝1，z2＝i时，z1z2≠0，但

36、z1＋z2

37、＝

38、z1－z2

39、.[答案]111．计算：(1)；(2)；(3)＋；(4).[解](1)＝＝－1－3i.(2)＝＝＝＝＋i.(3)＋＝＋＝＋＝－1.(4)＝＝＝＝－－i.12．已知z是复数，z＋2i，均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．[解]设z＝x＋yi(x，y∈R)．因为z＋2i＝x＋(y＋2)i，由题意得y＝－2.因为＝＝(x－2i)(2＋i)＝(2x＋2)＋(x－4)i，由题意得x＝4.所以z＝4－2i.因为(z

40、＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，根据条件，可知解得2＜a＜6，所以实数a的取值范围是(2，6)．13.如图，平行四边形OABC中，质点O，A，C分别表示复数0、3＋2i、－2＋4i，试求：(1)表示的复数，表示的复数；(2)对角线所表示的复数．[解](1)因为＝－，所以所表示的复数为－3－2i，因为＝，所以表示的复数也是－3－2i.(2)＝－，所以所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.1．定义：若z2＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，则称复数z是复数a＋bi的平方根．根据定义，则复数－3＋4i的平方根是________．[解

41、析]设(x＋yi)2＝－3＋4i(x，y∈R)，则解得或[答案]1＋2i或－1－2i2．已知复数z＝x＋yi，且

42、z－2

43、＝，则的最大值为________．[解析]因为

44、z－2

45、＝＝，所以(x－2)2＋y2＝3.由图可知＝＝.[答案]3．已知集合A＝{2，7，－4m＋(m＋2)i}(其中i为虚数单位，m∈R)，B＝{8，3}，且A∩B≠∅，则m的值为________．[解析]因为A∩B≠∅，所以－4m＋(m＋2)i＝8或－4m＋(m＋2)i＝3，解得m＝－2.[答案]－24．在复平面内，定点M与复数m＝对应，动点Z与复数z＝x＋yi对应，则满足不等式1≤

46、z－m

47、

48、≤3的点Z