全国通用版2019版高考数学一轮复习第十四单元椭圆双曲线抛物线高考达标检测四十三圆锥曲线的综合问题--定点定值探索性问题理

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1、高考达标检测（四十三）圆锥曲线的综合问题——定点、定值、探索性问题1.如图，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率是，其中一个顶点为B(0,1)．(1)求椭圆C的方程；(2)设P，Q是椭圆C上异于点B的任意两点，且BP⊥BQ.试问：直线PQ是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由.解：(1)设椭圆C的半焦距为c.依题意，得b＝1，且e2＝＝＝，解得a2＝4，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)直线PQ恒过定点．法一：易知，直线PQ的斜率存在，设其方程为y＝kx＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线PQ的方程代入x2＋4y2＝4，消去y，整理得(1＋4k2)x

2、2＋8kmx＋4m2－4＝0.则x1＋x2＝－，x1x2＝.①因为BP⊥BQ，且直线BP，BQ的斜率均存在，所以·＝－1，整理得x1x2＋y1y2－(y1＋y2)＋1＝0.②因为y1＝kx1＋m，y2＝kx2＋m，所以y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m，y1y2＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2.③将③代入②，整理得(1＋k2)x1x2＋k(m－1)(x1＋x2)＋(m－1)2＝0.④将①代入④，整理得5m2－2m－3＝0.解得m＝－或m＝1(舍去)．所以直线PQ恒过定点.法二：直线BP，BQ的斜率均存在，设直线BP的方程为y＝kx＋1.将直线BP的方程代入x2＋4y2＝4，消去

3、y，得(1＋4k2)x2＋8kx＝0.解得x＝0或x＝.设P(x1，y1)，所以x1＝，y1＝kx1＋1＝，所以P.以－替换点P坐标中的k，可得Q.从而，直线PQ的方程是＝.依题意，若直线PQ过定点，则定点必定在y轴上．在上述方程中，令x＝0，解得y＝－.所以直线PQ恒过定点.2．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，短轴端点到焦点的距离为2.(1)求椭圆C的方程；(2)设A，B为椭圆C上任意两点，O为坐标原点，且OA⊥OB.求证：原点O到直线AB的距离为定值，并求出该定值．解：(1)由题意知，e＝＝，＝2，又a2＝b2＋c2，所以a＝2，c＝，b＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝

4、1.(2)证明：当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x＝±，此时，原点O到直线AB的距离为.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.则Δ＝(8km)2－4(1＋4k2)(4m2－4)＝16(1＋4k2－m2)＞0，x1＋x2＝－，x1x2＝，则y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝，由OA⊥OB得kOA·kOB＝－1，即·＝－1，所以x1x2＋y1y2＝＝0，即m2＝(1＋k2)，所以原点O到直线AB的距离为＝.综上，原点O到直线AB的距离为定值.3．已知椭圆C：＋＝1(a＞b

5、＞0)的离心率为，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线2x－y＋6＝0相切．(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点A，B为动直线y＝k(x－2)(k≠0)与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在定点E，使得2＋·为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值；若不存在，请说明理由．解：(1)由e＝，得＝，即c＝a，①又以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆为x2＋y2＝a2，且该圆与直线2x－y＋6＝0相切，所以a＝＝，代入①得c＝2，所以b2＝a2－c2＝2，所以椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)由得(1＋3k2)x2－12k2x＋12k2－6＝0.设A(x1，y1)，B(x2

6、，y2)，所以x1＋x2＝，x1x2＝.根据题意，假设x轴上存在定点E(m,0)，使得2＋·＝(＋)·＝·为定值，则·＝(x1－m，y1)·(x2－m，y2)＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2＝(k2＋1)x1x2－(2k2＋m)(x1＋x2)＋(4k2＋m2)＝，要使上式为定值，即与k无关，只需3m2－12m＋10＝3(m2－6)，解得m＝，此时，2＋·＝m2－6＝－，所以在x轴上存在定点E使得2＋·为定值，且定值为－.4．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，且点P在椭圆C上，O为坐标原点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设过定点T(0,2)的直线l与椭圆C交于

7、不同的两点A，B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围；(3)过椭圆C1：＋＝1上异于其顶点的任一点P，作圆O：x2＋y2＝的两条切线，切点分别为M，N(M，N不在坐标轴上)，若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m，n，证明：＋为定值．解：(1)由题意得c＝1，所以a2＝b2＋1，①又点P在椭圆C上，所以＋＝1，②由①②可解得a2＝4，b2＝3，所以椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)设直线l的方程为y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2