2019年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.4 圆锥曲线的应用讲义（含解析）湘教版选修2-1

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1、2.4圆锥曲线的应用椭圆、双曲线的应用我国发射的第一颗人造卫星的运行轨道是以地球为中心(简称“地心”)F2为一个焦点的椭圆．已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面439km，远地点B(离地面最远的点)距地面2384km，AB是椭圆的长轴，地球半径约为6371km如图所示，以直线AB为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系xOy，AB与地球交于C，D两点．求卫星运行的轨道方程．(结果精确到1km)[自主解答]　设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)．由题意知

2、AC

3、＝439，

4、BD

5、＝2384，

6、F2C

7、＝

8、F2D

9、＝6

10、371.a－c＝

11、OA

12、－

13、OF2

14、＝

15、F2A

16、＝439＋6371＝6810，a＋c＝

17、OB

18、＋

19、OF2

20、＝

21、F2B

22、＝2384＋6371＝8755，解得a＝7782.5，c＝972.5，所以b＝＝≈7722.因此，卫星运行的轨道方程是＋＝1.(1)有关椭圆的轨迹问题，应注意如下结论的直接应用：“椭圆上到一焦点的距离最大和最小的点，恰是椭圆长轴的两个端点”．(2)解决实际应用题的一般思路是：首先根据题意画出几何图形，并建立合适的平面直角坐标系；然后设出待求椭圆、双曲线的标准方程，找出题中已知的量和隐含的关系式，求解方程．

23、1.某工程要挖一个横截面为半圆的柱形隧道，挖出的土只能沿道路AP，BP运到P处，如图所示，PA＝100m，PB＝150m，∠APB＝60°，试说明怎样运土才能最省工．解：以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立如图所示的直角坐标系．设M是分界线上的点，则有

24、MA

25、＋

26、PA

27、＝

28、MB＋

29、PB

30、，于是有

31、MA

32、－

33、MB

34、＝

35、PB

36、－

37、PA

38、＝150－100＝50.这说明这条分界线是以A，B为焦点的双曲线的右支，在△APB中，由余弦定理得：

39、AB

40、2＝

41、AP

42、2＋

43、PB

44、2－2

45、AP

46、·

47、PB

48、·cos60°＝1750

49、0，从而a＝25，c2＝＝4375，b2＝c2－a2＝3750，所以所求分界线方程为：－＝1(x≥25)，于是运土时，将此双曲线左侧的土沿AP运到P点，右侧的土沿BP运到P点最省工．抛物线的应用一辆卡车高3m，宽1.6m，欲通过截面为抛物线型的隧道，已知拱口宽AB恰好是拱高的4倍，若拱口宽为am，求能使卡车通过的a的最小整数值．[自主解答]　以拱顶为原点，拱高所在直线为y轴，建立直角坐标系，如图所示，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，则点B的坐标为，由点B在抛物线上，得2＝－2p，所以p＝，所以抛物线方程为x2＝－

50、ay.将点(0.8，y0)代入抛物线方程，得y0＝－.欲使卡车通过隧道，应有－

51、y0

52、＝－＞3.解得a＞12.21，或a＜－0.21(舍去)．∵a取整数，∴a的最小值为13.在建立抛物线的标准方程时，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系．这样可使得标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用．2.某河上有座抛物线形拱桥，当水面距拱顶5m时，水面宽为8m，一木船宽4m，高2m，载货后木船露在水面上的部分高为m，则水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？解：以拱桥拱顶

53、为坐标原点，拱高所在直线为y轴，建立如图所示的坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．由题意知，点A(4，－5)在抛物线x2＝－2py(p＞0)上，∴16＝－2p×(－5)，2p＝.∴抛物线方程为x2＝－y(－4≤x≤4)．设水面上涨，船面两侧与抛物线拱桥接触于B，B′时，船开始不能通航，设B(2，y′)，由22＝－y′，得y′＝－，∴水面与抛物线拱顶相距

54、y′

55、＋＝2(m)．故水面上涨到与抛物线拱顶相距2m时，船开始不能通航．解题高手妙解题什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路已知椭圆＋＝1(a>b>0)与x

56、轴的交点为A1，A2，P是椭圆上任一点，F是它的一个焦点，证明：以线段PF为直径的圆与以线段A1A2为直径的圆相切．[巧思]　判断两圆的位置关系，即判断两圆的圆心距与两圆的半径之间的关系．若M为PF的中点，则圆心距为

57、OM

58、.[妙解]　由椭圆方程＋＝1(a>b>0)知，以线段A1A2为直径的圆为x2＋y2＝a2.设F1是椭圆的另外一个焦点，点M是线段PF的中点，则

59、MO

60、＝

61、PF1

62、＝(2a－

63、PF

64、)＝a－

65、PF

66、.即以线段A1A2为直径的圆(圆心为O)与以线段PF为直径的圆(圆心为M)的圆心距等于两圆的半径之差，于是

67、两圆相切．1．若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是(　　)A．(3，＋∞)B．(－∞，－2)C．(－∞，－2)∪(3，＋∞)D．(3，＋∞)∪(－6，－2)解析：要满足方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆需有解得－63.答案：D2．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线与抛物线