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《2018年秋高中数学 第二章 数列 2.2 等差数列 第2课时 等差数列的性质学案 新人教A版必修5》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第2课时 等差数列的性质学习目标:1.掌握等差数列的有关性质(重点、易错点).2.能灵活运用等差数列的性质解决问题(难点).[自主预习·探新知]1.等差数列的图象等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d,当d=0时,an是一固定常数;当d≠0时,an相应的函数是一次函数;点(n,an)分布在以d为斜率的直线上,是这条直线上的一列孤立的点.思考:由上式可得d=,d=,你能联系直线的斜率解释一下这两个式子的几何意义吗?[提示] 等差数列的通项公式可以变形为an=nd+(a1-d),是关于n的一次函数,d为斜率,故两点(1,a1),(n,an)直线的斜率d=,当两点为(n,an
2、),(m,am)时有d=.2.等差数列的性质(1){an}是公差为d的等差数列,若正整数m,n,p,q满足m+n=p+q,则am+an=ap+aq.①特别地,当m+n=2k(m,n,k∈N*)时,am+an=2ak.②对有穷等差数列,与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和,即a1+an=a2+an-1=…=ak+an-k+1=….(2)从等差数列中,每隔一定的距离抽取一项,组成的数列仍为等差数列.(3)若{an}是公差为d的等差数列,则①{c+an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列;②{can}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列;③{an+an+k}(k为常
3、数,k∈N*)是公差为2d的等差数列.(4)若{an},{bn}分别是公差为d1,d2的等差数列,则数列{pan+qbn}(p,q是常数)是公差为pd1+qd2的等差数列.(5){an}的公差为d,则d>0⇔{an}为递增数列;d<0⇔{an}为递减数列;d=0⇔{an}为常数列.思考:若{an}为等差数列,且m+n=p(m,n,p∈N*),则am+an=ap一定成立吗?[提示] 不一定.如常数列{an},1+2=3,而a1+a2=2a3.[基础自测]1.思考辨析(1)若{an}是等差数列,则{
4、an
5、}也是等差数列.( )(2)若{
6、an
7、}是等差数列,则{an}也是等
8、差数列.( )(3)若{an}是等差数列,则对任意n∈N*都有2an+1=an+an+2.( )(4)数列{an}的通项公式为an=3n+5,则数列{an}的公差与函数y=3x+5的图象的斜率相等.( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√提示:(1)错误,如-2,-1,0,1,2是等差数列,但其绝对值就不是等差数列.(2)错误,如数列-1,2,-3,4,-5其绝对值为等差数列,但其本身不是等差数列.(3)正确,根据等差数列的通项可判定对任意n∈N*都有2an+1=an+an+2成立.(4)正确.因为an=3n+5的公差d=3,而直线y=3x+5的斜率也是
9、3.2.在等差数列{an}中,若a5=6,a8=15,则a14=________.33 [由题意得d===3.∴a14=a8+6d=15+18=33.]3.在等差数列{an}中,已知a3+a4+a5+a6+a7=450,则a2+a8=________.【导学号:91432150】180 [因为a3+a4+a5+a6+a7=5a5=450,所以a5=90,a2+a8=2a5=2×90=180.]4.已知等差数列{an}中,a7+a9=16,a4=1,则a12=________.15 [由等差数列的性质得a7+a9=a4+a12=16,又∵a4=1∴a12=15.][合作探究·
10、攻重难]灵活的设元解等差数列 已知四个数成等差数列,它们的和为26,中间两项的积为40,求这四个数.【导学号:91432151】[解] 法一:(设四个变量)设这四个数分别为a,b,c,d,根据题意,得解得或∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.法二:(设首项与公差)设此等差数列的首项为a1,公差为d,根据题意,得化简,得解得或∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.法三:(灵活设元)设这四个数分别为a-3d,a-d,a+d,a+3d,根据题意,得化简,得解得∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.[规律方法] 1.当已知条件中出现与首项
11、、公差有关的内容时,可直接设首项为a1,公差为d,利用已知条件建立方程组求出a1和d,即可确定数列.2.当已知数列有2n项时,可设为a-(2n-1)d,…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,…,a+(2n-1)d,此时公差为2d.3.当已知数列有2n+1项时,可设为a-nd,a-(n-1)d,…,a-d,a,a+d,…,a+(n-1)d,a+nd,此时公差为d.[跟踪训练]1.已知五个数成等差数列,它们的和为5,平方和为,求这5个数.[解] 设第三个数为a,公差为d,则这5个数分别为a-2d,a-d,a,a+d,