2018-2019年高中数学 第二讲 证明不等式的基本方法 2.2 综合法与分析法高效演练 新人教A版选修4-5

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1、2.2综合法与分析法[A级　基础巩固]一、选择题1．若实数x，y满足不等式xy＞1，x＋y≥0，则(　　)A．x＞0，y＞0　　B．x＜0，y＜0C．x＞0，y＜0D．x＜0，y＞0解析：因为xy＞1＞0，所以x，y同号．又x＋y≥0，故x＞0，y＞0.答案：A2．设x，y＞0，且xy－(x＋y)＝1，则(　　)A．x＋y≥2(＋1)B．xy≤＋1C．x＋y≤2(＋1)2D．xy≥2(＋1)解析：因为x，y＞0，且xy－(x＋y)＝1，所以(x＋y)＋1＝xy≤.所以(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0，解得x＋y≥2(＋1)．答案：A3．对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是(　　)A

2、．sin(α＋β)＞sinα＋sinβB．sin(α＋β)＞cosα＋cosβC．cos(α＋β)＞sinα＋sinβD．cos(α＋β)＜cosα＋cosβ解析：因为α，β为锐角，所以0＜α＜α＋β＜π，所以cosα＞cos(α＋β)．又cosβ＞0，所以cosα＋cosβ＞cos(α＋β)．答案：D4．设＜＜＜1，则(　　)A．aa＜ab＜baB．aa＜ba＜abC．ab＜aa＜baD．ab＜ba＜aa解析：因为＜＜＜1，所以0＜a＜b＜1，所以＝aa－b＞1，所以ab＜aa，＝.因为0＜＜1，a＞0，所以＜1，所以aa＜ba，所以ab＜aa＜ba.答案：C5．已知a，b∈R，则“a＋

3、b＞2，ab＞1”是“a＞1，b＞1”成立的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：当a＞1，b＞1时，两式相加得a＋b＞2，两式相乘得ab＞1.反之，当a＋b＞2，ab＞1时，a＞1，b＞1不一定成立．如：a＝，b＝4也满足a＋b＞2，ab＝2＞1，但不满足a＞1，b＞1.答案：B二、填空题6．若＜＜0，已知下列不等式：①a＋b＜ab；②

4、a

5、＞

6、b

7、；③a＜b；④＋＞2.其中正确的不等式的序号为________．解析：因为＜＜0，所以b＜a＜0，故②③错．答案：①④7．若a＞0，b＞0，则下列两式的大小关系为：lg________[lg(1

8、＋a)＋lg(1＋b)]．解析：[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]＝lg[(1＋a)(1＋b)]＝lg[(1＋a)(1＋b)]，又lg＝lg，因为a＞0，b＞0，所以a＋1＞0，b＋1＞0，所以[(a＋1)(1＋b)]≤＝，所以lg≥lg[(1＋a)(1＋b)].即lg≥[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．答案：≥8．已知a＞0，b＞0，若P是a，b的等差中项，Q是a，b的等比中项，是，的等差中项，则P，Q，R按从大到小的排列顺序为________．解析：P＝，Q＝，＝＋，所以R＝≤Q＝≤P＝，当且仅当a＝b时取等号．答案：P≥Q≥R三、解答题9．已知a＞0，b＞0，2c＞a＋b，求证：c

9、－＜a.证明：要证c－＜a，只需证明c＜a＋，即证b－a＜2，当b－a＜0时，显然成立；当b－a≥0时，只需证明b2＋a2－2ab＜4c2－4ab，即证(a＋b)2＜4c2，由2c＞a＋b知上式成立．所以原不等式成立．10．若不等式＋＋＞0在条件a＞b＞c时恒成立，求实数λ的取值范围．解：不等式可化为＋＞.因为a＞b＞c，所以a－b＞0，b－c＞0，a－c＞0，所以λ＜＋恒成立．因为＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，所以λ≤4.故实数λ的取值范围是(－∞，4]．B级　能力提升1．已知a，b，c为三角形的三边且S＝a2＋b2＋c2，P＝ab＋bc＋ca，则(　　)A．S≥2PB．P＜S＜2PC．S

10、＞PD．P≤S＜2P解析：因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，即S≥P.又三角形中

11、a－b

12、＜c，所以a2＋b2－2ab＜c2，同理b2－2bc＋c2＜a2，c2－2ac＋a2＜b2，所以a2＋b2＋c2＜2(ab＋bc＋ca)，即S＜2P.答案：D2．若n为正整数，则2与2＋的大小关系是________．解析：要比较2与2＋的大小，只需比较(2)2与的大小，即4n＋4与4n＋4＋的大小．因为n为正整数，所以4n＋4＋＞4n＋4.所以2＜2＋.答案：2＜2＋3．设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d.证明：(1)若ab

13、＞cd，则＋＞＋；(2)＋＞＋是

14、a－b

15、＜

16、c－d

17、的充要条件．证明：(1)因为(＋)2＝a＋b＋2，(＋)2＝c＋d＋2，由题设a＋b＝c＋d，ab>cd，得(＋)2>(＋)2.因此＋>＋.(2)①若

18、a－b

19、<

20、c－d

21、，则(a－b)2<(c－d)2，即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd，由(1)得＋>＋.②若＋>＋，则(＋)2>(＋)2即a＋b＋2>c＋d＋2，因为a＋