2018-2019学年高中数学 复习课（二）圆锥曲线与方程讲义（含解析）新人教A版选修1 -1

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1、复习课(二)　圆锥曲线与方程圆锥曲线的定义及标准方程圆锥曲线的定义及标准方程在高考中主要以选择题或填空题的形式进行考查，标准方程在解答题中也会涉及，是高考解析几何的必考内容．椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程椭圆双曲线抛物线定义平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于

2、F1F2

3、)的点的轨迹平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于

4、F1F2

5、且大于零)的点的轨迹平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹标准方程＋＝1或＋＝1(a>b>0)－＝1或－＝1(a>0，b>0)y2＝2px或y2＝－2px或x2＝2py或x2＝－2py(p>0

6、)关系式a2－b2＝c2a2＋b2＝c2[典例]　(1)椭圆＋＝1上一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则

7、ON

8、等于(　　)A．2　　　　　　　　　　　B．4C．6D.(2)(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为(　　)A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1(3)双曲线16x2－9y2＝144的左、右两焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且

9、PF1

10、·

11、PF2

12、＝64，则∠F1PF2＝________.[解析]　(1)设椭圆的另一个焦点为F2，因为椭圆＋＝1上一点M到焦点F1的距离为2，即

13、

14、MF1

15、＝2，又

16、MF1

17、＋

18、MF2

19、＝2a＝10，所以

20、MF2

21、＝8.因为N是MF1的中点，O是F1F2的中点，所以

22、ON

23、＝

24、MF2

25、＝4.(2)根据双曲线C的渐近线方程为y＝x，可知＝.①又椭圆＋＝1的焦点坐标为(3,0)和(－3,0)，所以a2＋b2＝9.②根据①②可知a2＝4，b2＝5，所以C的方程为－＝1.(3)双曲线方程16x2－9y2＝144化简为－＝1，即a2＝9，b2＝16，所以c2＝25，解得a＝3，c＝5，所以F1(－5,0)，F2(5,0)．设

26、PF1

27、＝m，

28、PF2

29、＝n，由双曲线的定义知

30、m－n

31、＝2a＝6，又已知m·n＝64，在△PF1F2中，由余弦定理知co

32、s∠F1PF2＝＝＝＝＝.所以∠F1PF2＝60°.[答案]　(1)B　(2)B　(3)60°[类题通法]求圆锥曲线方程的一般步骤一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤．(1)定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置．(2)定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)．(3)定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小．1．若中心在坐标原点的椭圆的长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是(2，0)，则椭圆的标准方程是(　　)A.＋

33、＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1解析：选D　不妨设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，依题意得，＝＝2⇒a＝2b，∵c＝2，c2＝a2－b2，∴(2)2＝(2b)2－b2⇒b2＝20，得a2＝4b2＝80，故所求椭圆的标准方程为＋＝1.2．已知P为抛物线y＝x2上的动点，点P在x轴上的射影为Q，A，则

34、PA

35、＋

36、PQ

37、的最小值是(　　)A.B.C.D．10解析：选C　抛物线的准线方程为y＝－.设抛物线的焦点为F，则F.根据抛物线的定义可得

38、PQ

39、＝

40、PF

41、－，所以

42、PA

43、＋

44、PQ

45、＝

46、PF

47、＋

48、PA

49、－.所以

50、PA

51、＋

52、PQ

53、的最小值为

54、FA

55、－＝.圆锥曲线的几何性质圆锥曲线的几何性质是

56、圆锥曲线的核心内容，高考非常重视对圆锥曲线几何性质的考查，试卷中一般以选择题或者填空题的形式考查圆锥曲线的几何性质(主要是椭圆和双曲线的离心率)，在解答题中与圆锥曲线方程的其他知识一起进行综合考查．椭圆、双曲线、抛物线的几何性质椭圆双曲线抛物线标准方程＋＝1(a>b>0)－＝1(a>0，b>0)y2＝2px(p>0)关系式a2－b2＝c2a2＋b2＝c2图形封闭图形无限延展，有渐近线无限延展，没有渐近线对称性对称中心为原点无对称中心两条对称轴一条对称轴顶点四个两个一个离心率01e＝1准线方程x＝－决定形状的因素e决定扁平程度e决定开口大小2p决定开口大小[典例]　(1)已知双曲线

57、的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的离心率为(　　)A.B.C.或D.(2)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F.设线段AB的中点为M，若2·＋2≥0，则该椭圆的离心率的取值范围为(　　)A．(0，－1]B.C.D．(0，－1][解析]　(1)由双曲线的渐近线方程为y＝±x，得＝或＝，又离心率e＝，所以e＝或e＝.(2)因为A(－a,0)，B(0，b)，M，F(c,0)，所以＝，＝，