（全国通用版）2019高考数学二轮复习 板块四 考前回扣 专题6 立体几何与空间向量学案 理

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1、回扣6　立体几何与空间向量1．四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系2．三视图(1)三视图的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高．(2)三视图排列规则：俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图一样；侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度和正(主)视图一样，宽度与俯视图一样．3．柱、锥、台、球体的表面积和体积侧面展开图表面积体积直棱柱长方形S＝2S底＋S侧V＝S底·

2、h圆柱长方形S＝2πr2＋2πrlV＝πr2·l棱锥由若干三角形构成S＝S底＋S侧V＝S底·h圆锥扇形S＝πr2＋πrlV＝πr2·h棱台由若干个梯形构成S＝S上底＋S下底＋S侧V＝(S＋＋S′)·h圆台扇环S＝πr′2＋π(r＋r′)l＋πr2V＝π(r2＋rr′＋r′2)·h球S＝4πr2V＝πr34.平行、垂直关系的转化示意图(1)(2)两个结论①⇒a∥b，②⇒b⊥α.5．用空间向量证明平行、垂直设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α，β的法向量分别为μ＝(a2，b2，c2)，v＝(a3，b3，c3)．则

3、有：(1)线面平行l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(2)线面垂直l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2.(3)面面平行α∥β⇔μ∥v⇔μ＝λv⇔a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3.(4)面面垂直α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v＝0⇔a2a3＋b2b3＋c2c3＝0.6．用向量求空间角(1)直线l1，l2的夹角θ满足cosθ＝

4、cos〈l1，l2〉

5、(其中l1，l2分别是直线l1，l2的方向向量)．(2)直线l与平面α的夹角θ满足sinθ＝

6、cos〈l，n〉

7、(其中l是直线

8、l的方向向量，n是平面α的法向量)．(3)平面α，β的夹角θ满足cosθ＝

9、cos〈n1，n2〉

10、，则二面角α—l—β的平面角为θ或π－θ(其中n1，n2分别是平面α，β的法向量)．1．混淆“点A在直线a上”与“直线a在平面α内”的数学符号关系，应表示为A∈a，a⊂α.2．在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线．在还原空间几何体实际形状时一般是以正(主)视图和俯视图为主．3．易混淆几何体的表面积与侧面积的区别，几何体的表面积是几何体的侧面积与所有底

11、面面积之和，不能漏掉几何体的底面积；求锥体体积时，易漏掉体积公式中的系数.4．不清楚空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理，忽视判定定理和性质定理中的条件，导致判断出错．如由α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，易误得出m⊥β的结论，就是因为忽视面面垂直的性质定理中m⊂α的限制条件．5．注意图形的翻折与展开前后变与不变的量以及位置关系．对照前后图形，弄清楚变与不变的元素后，再立足于不变的元素的位置关系与数量关系去探求变化后的元素在空间中的位置与数量关系．6．几种角的范围两条异面直线所成的角：0°<α≤90°；直线与平面所成的角：

12、0°≤α≤90°；二面角：0°≤α≤180°.7．空间向量求角时易忽视向量的夹角与所求角之间的关系，如求解二面角时，不能根据几何体判断二面角的范围，忽视向量的方向，误以为两个法向量的夹角就是所求的二面角，导致出错．1．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是(　　)A.B.C.D．π答案　D解析　由三视图可知，该几何体为球的，其半径为1，则体积V＝××π×13＝π.2．直三棱柱ABC—A1B1C1的直观图及三视图如图所示，D为AC的中点，则下列命题中是假命题的是(　　)　　A．AB1∥平面BDC1B．A1C⊥平面BD

13、C1C．直三棱柱的体积V＝4D．直三棱柱的外接球的表面积为4π答案　D解析　由三视图可知，直三棱柱ABC—A1B1C1的侧面B1C1CB是边长为2的正方形，底面ABC是等腰直角三角形，AB⊥BC，AB＝BC＝2.连接B1C交BC1于点O，连接OD.在△CAB1中，O，D分别是B1C，AC的中点，∴OD∥AB1，又OD⊂平面BDC1，AB1⊄平面BDC1，∴AB1∥平面BDC1.故A正确；在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥BD.又AB＝BC＝2，D为AC的中点，∴BD⊥AC，又AA1∩AC＝A，A

14、A1，AC⊂平面AA1C1C，∴BD⊥平面AA1C1C，又A1C⊂平面AA1C1C，∴BD⊥A1C.又A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，B1C1∩B1B＝B1，B1C1，B1B⊂平面B1C1CB，∴A1B1⊥平面B1C1CB，又BC1⊂平面B1C1CB，∴A1B1⊥BC1.∵BC1⊥B