赣豫陕2018-2019学年高中数学第一章立体几何初步7.3球的表面积和体积学案北师大版必修2

《赣豫陕2018-2019学年高中数学第一章立体几何初步7.3球的表面积和体积学案北师大版必修2 》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、7．3　球的表面积和体积学习目标　1.了解球的表面积与体积公式，并能应用它们求球的表面积及体积.2.会求解组合体的体积与表面积．知识点一　球的截面思考　什么叫作球的大圆与小圆？答案　平面过球心与球面形成的截线是大圆．平面不过球心与球面形成的截线是小圆．梳理　用一个平面α去截半径为R的球O的球面得到的是圆，有以下性质：(1)若平面α过球心O，则截线是以O为圆心的球的大圆．(2)若平面α不过球心O，如图，设OO′⊥α，垂足为O′，记OO′＝d，对于平面α与球面的任意一个公共点P，都满足OO′⊥O′P，则有O′P＝，即此时截线是以O′为圆心，以r＝为半径的球的小圆．知识点二　球的

2、切线(1)定义：与球只有唯一公共点的直线叫作球的切线．如图，l为球O的切线，M为切点．(2)性质：①球的切线垂直于过切点的半径；②过球外一点的所有切线的长度都相等．知识点三　球的表面积与体积公式前提条件球的半径为R表面积公式S＝4πR2体积公式V＝πR31．球的表面积等于它的大圆面积的2倍．(　×　)2．两个球的半径之比为1∶2，则其体积之比为1∶4.(　×　)3．球心与其截面圆的圆心的连线垂直于截面．(　√　)类型一　球的表面积与体积例1　(1)某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．考点　题点　答案　3π解析　由三视图知该几何体为半球，则其表面积为×4π

3、×12＋π×12＝3π.(2)已知球的表面积为64π，求它的体积．考点　题点　解　设球的半径为R，则4πR2＝64π，解得R＝4，所以球的体积V＝πR3＝π·43＝π.反思与感悟　(1)要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解．(2)半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了．(3)由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的表面积或体积，最重要的是还原组合体，并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义．根据球与球的组合体的结构特征及数据计算其表面积或体积．此时要特别注意球的三视图都

4、是直径相同的圆．跟踪训练1　(1)已知球的体积为π，则其表面积为________．考点　题点　答案　100π解析　设球的的半径为R，则πR3＝π，解得R＝5，所以球的表面积S＝4πR2＝4π×52＝100π.(2)某器物的三视图如图，根据图中数据可知该器物的体积是(　　)A.B.C.－D.＋考点　组合几何体的表面积与体积题点　柱、锥、台、球组合的几何体的表面积与体积答案　D解析　由三视图可知，此几何体上部是直径为2的球，下部是底面直径为2，高为的圆锥，所以V＝π×13＋π×12×＝＋.类型二　球的截面例2　在半径为R的球面上有A，B，C三点，且AB＝BC＝CA＝3，球心到△

5、ABC所在截面的距离为球半径的一半，求球的表面积．考点　题点　解　依题意知，△ABC是正三角形，△ABC的外接圆半径r＝×3＝.由R2＝2＋()2，得R＝2.所以球的表面积S＝4πR2＝16π.反思与感悟　(1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题．(2)解题时要注意借助球半径R，截面圆半径r，球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2＝d2＋r2.跟踪训练2　如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为(　　)A.cm3B.

6、cm3C.cm3D.cm3考点　题点　答案　A解析　利用球的截面性质结合直角三角形求解．如图，作出球的一个截面，则MC＝8－6＝2(cm)，BM＝AB＝×8＝4(cm)．设球的半径为Rcm，则R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42，∴R＝5，∴V球＝π×53＝(cm3)．类型三　与球有关的组合体命题角度1　球的内接或外切柱体问题例3　(1)一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为________．考点　球的体积题点　与外接、内切有关球的体积计算问题答案　14π解析　长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即2R＝＝

7、，所以球的表面积S＝4πR2＝14π.(2)将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为________．考点　球的体积题点　与外接、内切有关球的体积计算问题答案　解析　由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1，其体积是×π×12＝.反思与感悟　(1)正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，若正方体的棱长为a，此时球的半径为r1＝.(2)长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球