广东省广州市普通高中2018届高考数学三轮复习冲刺模拟试题(20)

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1、高考数学三轮复习冲刺模拟试题20三角变换与解三角形一、选择题1．已知sinα－cosα＝，α∈(0，π)，则sin2α＝(　　)A．－1　　　　　　　　　B．－C.D．1解析：∵sinα－cosα＝，∴1－2sinαcosα＝2，即sin2α＝－1.答案：A2．在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝3，则AC＝(　　)A．4B．2C.D.解析：利用正弦定理解三角形．在△ABC中，＝，∴AC＝＝＝2.答案：B3．若β＝α＋30°，则sin2α＋cos2β＋sinαcosβ＝(　　)A.B.C．cos2βD．sin2α解

2、析：将β＝α＋30°代入sin2α＋cos2β＋sinαcosβ，整理得sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)＝sin2α＋(cosαcos30°－sinαsin30°)2＋sinα(cosαcos30°－sinαsin30°)＝sin2α＋(cosα－sinα)(cosα－sinα＋sinα)＝sin2α＋(cosα－sinα)(cosα＋sinα)＝sin2α＋(cosα)2－(sinα)2＝sin2α＋cos2α－sin2α＝(sin2α＋cos2α)＝.答案：B4．已知△ABC的三边长为a，b，

3、c，且面积S△ABC＝(b2＋c2－a2)，则A＝(　　)A.B.C.D.解析：因为S△ABC＝bcsinA＝(b2＋c2－a2)，所以sinA＝＝cosA，故A＝.答案：A5．在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于(　　)A.B.C.D.解析：利用余弦定理及三角形面积公式求解．设AB＝a，则由AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB知7＝a2＋4－2a，即a2－2a－3＝0，∴a＝3(负值舍去)．∴S△ABC＝AB·BCsinB＝×3×2×＝.∴BC边上的高为＝.答案：B二、填空题6．已知α、β均为

4、锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则α＝________.解析：依题意有cosαcosβ－sinαsinβ＝sinαcosβ－cosαsinβ，即cosα(cosβ＋sinβ)＝sinα(sinβ＋cosβ)．∵α、β均为锐角，∴sinβ＋cosβ≠0，∴cosα＝sinα，∴α＝.答案：7．在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若a＝2，B＝，c＝2，则b＝________.解析：利用余弦定理求解．∵a＝2，B＝，c＝2，∴b＝＝＝2.答案：28．如图，在某灾区的搜救现场，一条搜救犬从A点出发沿正北方

5、向行进xm到达B处发现生命迹象，然后向右转105°，行进10m到达C处发现另一生命迹象，这时它向右转135°回到出发点，那么x＝________.解析：由题图知，AB＝x，∠ABC＝180°－105°＝75°，∠BCA＝180°－135°＝45°.∵BC＝10，∠BAC＝180°－75°－45°＝60°，∴＝，∴x＝＝.答案：三、解答题9．如图，为了计算江岸边两景点B与C的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A和D两个测量点，现测得AD⊥CD，AD＝10km，AB＝14km，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求两景点B与C之

6、间的距离．(假设A，B，C，D在同一平面内，测量结果保留整数，参考数据：≈1.414)解析：在△ABD中，设BD＝x，根据余弦定理得，BA2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos∠BDA，即142＝x2＋102－2×10x×cos60°，整理得x2－10x－96＝0，解得x1＝16，x2＝－6(舍去)，在△BCD中，由正弦定理得＝，故BC＝·sin30°＝8≈11.即两景点B与C之间的距离约为11km.10．设函数f(x)＝sin2ωx＋2sinωx·cosωx－cos2ωx＋λ(x∈R)的图象关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常

7、数，且ω∈(，1)．(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若y＝f(x)的图象经过点(，0)，求函数f(x)的值域．解析：(1)因为f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋2sinωx·cosωx＋λ＝－cos2ωx＋sin2ωx＋λ＝2sin(2ωx－)＋λ，由直线x＝π是y＝f(x)图象的一条对称轴，可得sin(2ωπ－)＝±1，所以2ωπ－＝kπ＋(k∈Z)，即ω＝＋(k∈Z)．又ω∈(，1)，k∈Z，所以k＝1，故ω＝.所以f(x)的最小正周期是.(2)由y＝f(x)的图象过点(，0)，得f()＝0，即λ＝－2sin(×

8、－)＝－2sin＝－，即λ＝－.故f(x)＝2sin(x－)－，函数f(x)的值域为[－2－，2－]．11．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且有2sinBcosA＝sinAcosC＋cosAsinC.(1)求角A的大小；(2)若b＝2，c＝