2019年高考数学 考纲解读与热点难点突破 专题14 空间中的平行与垂直教学案 文（含解析）

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1、空间中的平行与垂直【2019年高考考纲解读】1.以选择题、填空题的形式考查，主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面平行和垂直的判定定理与性质定理对命题的真假进行判断，属于基础题.2.以解答题的形式考查，主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系的交汇综合命题，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查，难度中档．【重点、难点剖析】1．直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α.(2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b.(3)面面平行的判定定理

2、：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β.(4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.2．平行关系的转化两平面平行问题常常可以转化为直线与平面的平行，而直线与平面平行又可转化为直线与直线平行，所以要注意转化思想的应用，以下为三种平行关系的转化示意图．3．直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理：m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α.(2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.(3)面面垂直的判定定理：a⊂β，a⊥α⇒α⊥β.(2)如图，平面α与

3、平面β相交于BC，AB⊂α，CD⊂β，点A∉BC，点D∉BC，则下列叙述错误的是(　　)A．直线AD与BC是异面直线B．过AD只能作一个平面与BC平行C．过AD只能作一个平面与BC垂直D．过D只能作唯一平面与BC垂直，但过D可作无数个平面与BC平行答案　C解析　由异面直线的判定定理得直线AD与BC是异面直线；在平面β内仅有一条直线过点D且与BC平行，这条直线与AD确定一个平面与BC平行，即过AD只能作一个平面与BC平行；若AD垂直于平面α，则过AD的平面都与BC垂直，因此C错；过D只能作唯一平面与BC垂直，但

4、过D可作无数个平面与BC平行．题型二　　空间平行、垂直关系的证明例2.(2018·全国Ⅱ)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．(1)证明：PO⊥平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离．(1)证明　因为PA＝PC＝AC＝4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP＝2.如图，连接OB.因为AB＝BC＝AC，所以△ABC为等腰直角三角形，所以OB⊥AC，OB＝AC＝2.由OP2＋OB2＝PB2知PO⊥OB.因为OP⊥OB，OP

5、⊥AC，OB∩AC＝O，OB，AC⊂平面ABC，所以PO⊥平面ABC.(2)解　作CH⊥OM，垂足为H，又由(1)可得OP⊥CH，因为OM∩OP＝O，OM，OP⊂平面POM，所以CH⊥平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离．由题意可知OC＝AC＝2，CM＝BC＝，∠ACB＝45°，所以在△OMC中，由余弦定理可得，OM＝，CH＝＝.所以点C到平面POM的距离为.【变式探究】(1)如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，平面PAB⊥平面ABCD，点E是PD的中点，棱PA与平面BCE交于

6、点F.①求证：AD∥EF；②若△PAB是正三角形，求三棱锥P－BEF的体积．①证明　因为底面ABCD是边长为2的正方形，所以BC∥AD.又因为BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BC∥平面PAD.又因为B，C，E，F四点共面，且平面BCEF∩平面PAD＝EF，所以BC∥EF.又因为BC∥AD，所以AD∥EF.②解　由①知，AD∥EF，点E是PD的中点，所以点F为PA的中点，EF＝AD＝1.又因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，AD⊥AB，所以AD⊥平面PAB，所以EF⊥平面PAB

7、.又因为△PAB是正三角形，所以PA＝PB＝AB＝2，所以S△PBF＝S△PBA＝.又EF＝1，所以VP－BEF＝VE－PBF＝××1＝.故三棱锥P－BEF的体积为.(2)(2018·北京)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．①求证：PE⊥BC；②求证：平面PAB⊥平面PCD；③求证：EF∥平面PCD.证明　①因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD，所以PE⊥BC.③如

8、图，取PC的中点G，连接FG，DG.因为F，G分别为PB，PC的中点，所以FG∥BC，FG＝BC，因为四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，所以DE∥BC，DE＝BC.所以DE∥FG，DE＝FG.所以四边形DEFG为平行四边形，所以EF∥DG.又因为EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD，所以EF∥平面PCD.【感悟提升】垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下：(1)证明线线平行常用的