（全国通用版）2018-2019高中数学 第一章 常用逻辑用语疑难规律方法学案 新人教A版选修2-1

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1、第一章常用逻辑用语1　怎样解逻辑用语问题1．利用集合理清关系充分(必要)条件是高中学段的一个重要概念，并且是理解上的一个难点．要解决这个难点，将抽象的概念用直观、形象的图形表示出来，看得见、想得通，才是最好的方法．本节使用集合模型对充要条件的外延与内涵作了直观形象的解释，实践证明效果较好．集合模型解释如下：(1)A是B的充分条件，即A⊆B.(2)A是B的必要条件，即B⊆A.(3)A是B的充要条件，即A＝B.(4)A是B的既不充分也不必要条件，即A∩B＝∅或A、B既有公共元素也有非公共元素．或例1　设集合S＝{0，a}，T＝{x∈Z

2、x2<2}，则“a＝1”是“S

3、⊆T”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)解析　T＝{x∈Z

4、x2<2}＝{－1,0,1}，a＝1时，S＝{0,1}，所以S⊆T；反之，若S⊆T，则S＝{0,1}或S＝{0，－1}．所以“a＝1”是“S⊆T”的充分不必要条件．答案　充分不必要2．抓住量词，对症下药全称命题与特称命题是两类特殊的命题，这两类命题的否定是这部分内容中的重要概念，解决有关此类命题的题目时一定要抓住决定命题性质的量词，理解其相应的含义，从而对症下药．例2　(1)已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”与命题q：“∃x0∈R，x＋2

5、ax0＋2＋a＝0”都是真命题，则实数a的取值范围为______________．(2)已知命题p：“∃x0∈[1,2]，x－a≥0”与命题q：“∃x0∈R，x＋2ax0＋2＋a＝0”都是真命题，则实数a的取值范围为__________________．解析　(1)将命题p转化为当x∈[1,2]时，(x2－a)min≥0，即1－a≥0，即a≤1.命题q：即方程有解，Δ＝(2a)2－4×(2＋a)≥0，解得a≤－1或a≥2.综上所述，a的取值范围为(－∞，－1]．(2)命题p转化为当x0∈[1,2]时，(x－a)max≥0，即4－a≥0，即a≤4.命题q同(1)．

6、综上所述，a的取值范围为(－∞，－1]∪[2,4]．答案　(1)(－∞，－1]　(2)(－∞，－1]∪[2,4]点评　认真比较两题就会发现，两题形似而神异，所谓失之毫厘，谬之千里，需要我们抓住这类问题的本质——量词，有的放矢．2　判断条件四策略1．应用定义如果p⇒q，那么称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件．判断时的关键是分清条件与结论．例1　设集合M＝{x

7、x>2}，P＝{x

8、x<3}，那么“x∈M或x∈P”是“x∈P∩M”的__________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)解析　条件p：x∈M或x∈P；结论q：x∈

9、P∩M.若x∈M，则x不一定属于P，即x不一定属于P∩M，所以p⇏q；若x∈P∩M，则x∈M且x∈P，所以q⇒p.综上知，“x∈M或x∈P”是“x∈P∩M”的必要不充分条件．答案　必要不充分2．利用传递性充分、必要条件在推导的过程当中具有传递性，即：若p⇒q，q⇒r，则p⇒r.例2　如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的______条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)解析　依题意，有A⇐B⇔C⇐D且A⇏B⇔C⇏D，由命题的传递性可知D⇒A，但A⇏D.于是A是D的必要不充分条件．答案　必要

10、不充分3．利用集合运用集合思想来判断充分条件和必要条件是一种行之有效的方法．若p以非空集合A的形式出现，q以非空集合B的形式出现，则①若A⊆B，则p是q的充分条件；②若B⊆A，则p是q的必要条件；③若AB，则p是q的充分不必要条件；④若BA，则p是q的必要不充分条件；⑤若A＝B，则p是q的充要条件．例3　已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是________．解析　设p，q分别对应集合P，Q，则P＝{x

11、－2≤x≤10}，Q＝{x

12、1－m≤x≤1＋m}，由题意知，p⇒q，但q⇏p，故P

13、Q，所以或解得m≥9.即m的取值范围是[9，＋∞)．答案　[9，＋∞)