2020高考数学一轮复习 课时作业31 等比数列及其前n项和 理

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1、课时作业31　等比数列及其前n项和[基础达标]一、选择题1．[2019·益阳市，湘潭市高三调研]已知等比数列{an}中，a5＝3，a4a7＝45，则的值为(　　)A．3B．5C．9D．25解析：设等比数列{an}的公比为q，则a4a7＝·a5q2＝9q＝45，所以q＝5，＝＝q2＝25.故选D.答案：D2．[2019·湖北华师一附中联考]在等比数列{an}中，a2a3a4＝8，a7＝8，则a1＝(　　)A．1B．±1C．2D．±2解析：因为数列{an}是等比数列，所以a2a3a4＝a＝8，所以a3＝2，所以a7＝a3q4＝2q4＝8，所以q

2、2＝2，a1＝＝1，故选A.答案：A3．[2019·山东淄博模拟]已知{an}是等比数列，若a1＝1，a6＝8a3，数列的前n项和为Tn，则T5＝(　　)A.B．31C.D．7解析：设等比数列{an}的公比为q，∵a1＝1，a6＝8a3，∴q3＝8，解得q＝2.∴an＝2n－1.∴＝n－1.∴数列是首项为1，公比为的等比数列．则T5＝＝.故选A.答案：A4．[2019·福建厦门模拟]设等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2n＋1＋λ，则λ＝(　　)A．－2B．－1C．1D．2解析：解法一　当n＝1时，a1＝S1＝4＋λ.当n≥2时，a

3、n＝Sn－Sn－1＝(2n＋1＋λ)－(2n＋λ)＝2n，此时＝＝2.因为{an}是等比数列，所以＝2，即＝2，解得λ＝－2.故选A.解法二　依题意，a1＝S1＝4＋λ，a2＝S2－S1＝4，a3＝S3－S2＝8，因为{an}是等比数列，所以a＝a1·a3，所以8(4＋λ)＝42，解得λ＝－2.故选A.解法三　Sn＝2n＋1＋λ＝2×2n＋λ，易知q≠1，因为{an}是等比数列，所以Sn＝－qn，据此可得λ＝－2.故选A.答案：A5．[2019·湖南湘潭模拟]已知等比数列{an}的前n项积为Tn，若a1＝－24，a4＝－，则当Tn取最大值时

4、，n的值为(　　)A．2B．3C．4D．6解析：等比数列{an}的前n项积为Tn，由a1＝－24，a4＝－，可得q3＝＝，解得q＝，∴Tn＝a1a2a3…an＝(－24)n·q1＋2＋…＋(n－1)＝(－24)n·，当Tn取最大值时，可得n为偶数，当n＝2时，T2＝242·＝192；当n＝4时，T4＝244·6＝；当n＝6时，T6＝246·15＝，则T66，且n为偶数时，Tn

5、成等差数列，a2＋a5＝4，则a8＝________.解析：因为S3，S9，S6成等差数列，所以公比q≠1，＝＋，整理得2q6＝1＋q3，所以q3＝－，故a2·＝4，解得a2＝8，故a8＝8×＝2.答案：27．[2019·广州市高三调研]在各项都为正数的等比数列{an}中，若a2018＝，则＋的最小值为________．解析：设公比为q(q>0)，因为a2018＝，所以a2017＝＝，a2019＝a2018q＝q，则有＋＝q＋＝q＋≥2＝4，当且仅当q2＝2，即q＝时取等号，故所求最小值为4.答案：48．[2019·石家庄检测]设公差不为0

6、的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2，a5，a11成等比数列，且a11＝2(Sm－Sn)(m>n>0，m，n∈N*)，则m＋n的值是________．解析：设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，因为a2，a5，a11成等比数列，所以a＝a2a11，所以(a1＋4d)2＝(a1＋d)(a1＋10d)，解得a1＝2d，又a11＝2(Sm－Sn)(m>n>0，m，n∈N*)，所以2ma1＋m(m－1)·d－2na1－n(n－1)d＝a1＋10d，化简得(m＋n＋3)·(m－n)＝12，因为m>n>0，m，n∈N*，所以或解得或(舍去)，所

7、以m＋n＝9.答案：9三、解答题9．[2017·全国卷Ⅱ]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2.(1)若a3＋b3＝5，求{bn}的通项公式；(2)若T3＝21，求S3.解析：设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则an＝－1＋(n－1)d，bn＝qn－1.由a2＋b2＝2得d＋q＝3.①(1)由a3＋b3＝5得2d＋q2＝6.②联立①和②解得(舍去)，因此{bn}的通项公式为bn＝2n－1.(2)由b1＝1，T3＝21得q2＋q－20＝0.解得q＝－5或q＝4.当

8、q＝－5时，由①得d＝8，则S3＝21.当q＝4时，由①得d＝－1，则S3＝－6.10．[2018·全国卷Ⅲ]等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.(1)求{an}的通项公