1、课时作业31 等比数列及其前n项和1．已知正项等比数列{an}满足a3＝1，a5与a4的等差中项为，则a1的值为( A )A．4B．2C.D.解析：由题意知2×＝a5＋a4，即3a4＋2a5＝2.设{an}的公比为q(q＞0)，则由a3＝1，得3q＋2q2＝2，解得q＝或q＝－2(舍去)，所以a1＝＝4.2．(2019·益阳调研)已知等比数列{an}中，a5＝3，a4a7＝45，则的值为( D )A．3B．5C．9D．25解析：设等比数列{an}的公比为q，则a4a7＝·a5q2＝9q＝45，所以q＝5，＝＝q2＝25.故选D.3．(2019·武昌调研)等比
2、数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，Sn＋2＝4Sn＋3恒成立，则a1的值为( C )A．－3B．1C．－3或1D．1或3解析：设等比数列{an}的公比为q，当q＝1时，Sn＋2＝(n＋2)a1，Sn＝na1，由Sn＋2＝4Sn＋3得，(n＋2)a1＝4na1＋3，即3a1n＝2a1－3，若对任意的正整数n,3a1n＝2a1－3恒成立，则a1＝0且2a1－3＝0，矛盾，所以q≠1，所以Sn＝，Sn＋2＝，代入Sn＋2＝4Sn＋3并化简得a1(4－q2)qn＝3＋3a1－3q，若对任意的正整数n该等式恒成立，则有解得或故a1＝1或－3，故选C.4
3、．(2019·西安八校联考)已知数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，若a1·a6·a11＝－3，b1＋b6＋b11＝7π，则tan的值是( A )A．－B．－1C．－D.解析：依题意得，a＝(－)3，a6＝－，3b6＝7π，b6＝，＝＝－，故tan＝tan＝－tan＝－.5．(2018·北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第
4、八个单音的频率为( D )A.fB.fC.fD.f解析：由题意知，十三个单音的频率构成首项为f，公比为的等比数列，设该等比数列为{an}，则a8＝a1q7，即a8＝f，故选D.6．在正项数列{an}中，a1＝2，点(，)(n≥2)在直线x－y＝0上，则数列{an}的前n项和Sn等于( A )A．2n＋1－2B．2n＋1C．2－D．2－解析：因为点(，)(n≥2)在直线x－y＝0上，所以－·＝0.又因为an＞0，所以＝2(n≥2)．又a1＝2，所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．所以所求的Sn＝＝2n＋1－2.7．(2019·天津实验中学月考)设{
5、an}是由正数组成的等比数列，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，则a3·a6·a9·…·a30＝( B )A．210B．220C．216D．215解析：因为a1a2a3＝a，a4a5a6＝a，a7a8a9＝a，…，a28a29a30＝a，所以a1a2a3a4a5a6a7a8a9…a28a29a30＝(a2a5a8…a29)3＝230.所以a2a5a8…a29＝210.则a3a6a9…a30＝(a2q)(a5q)(a8q)…(a29q)＝(a2a5a8…a29)q10＝210×210＝220，故选B.8．(2019·山西太原模拟)已知数列{a
6、n}的前n项和为Sn，点(n，Sn＋3)(n∈N*)在函数y＝3×2x的图象上，等比数列{bn}满足bn＋bn＋1＝an(n∈N*)，其前n项和为Tn，则下列结论正确的是( D )A．Sn＝2TnB．Tn＝2bn＋1C．Tn＞anD．Tn＜bn＋1解析：由题意可得Sn＋3＝3×2n，Sn＝3×2n－3，由等比数列前n项和的特点可得数列{an}是首项为3，公比为2的等比数列，数列的通项公式an＝3×2n－1，设bn＝b1qn－1，则b1qn－1＋b1qn＝3×2n－1，当n＝1时，b1＋b1q＝3，当n＝2时，b1q＋b1q2＝6，解得b1＝1，q＝2，数列{
